Сингулярные гомологии

Сингулярные гомологии — теория гомологий, в которой инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными, но основное определение требует работы с бесконечномерными пространствами.

Построение

Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — любое топологическое пространство.

Сингулярный симплекс размерности [math]\displaystyle{ k }[/math] — это пара [math]\displaystyle{ (\Delta^k , f) }[/math] где [math]\displaystyle{ \Delta^k }[/math] — это стандартный симплекс [math]\displaystyle{ \langle a_0,a_1,...~a_k\rangle }[/math], а [math]\displaystyle{ f }[/math] — его непрерывное отображение в [math]\displaystyle{ X }[/math]; [math]\displaystyle{ f : \Delta^k\to X }[/math].

Группу сингулярных цепей определим как множество формальных линейных комбинаций:

[math]\displaystyle{ c_k=\sum_i z_i(\Delta^k,f_i) }[/math] с целыми (обычно их полагают также ограниченными) коэффициентами [math]\displaystyle{ z_i }[/math].

При этом для линейного отображения [math]\displaystyle{ s_\pi:\Delta^k\to\Delta^k }[/math], определяемого перестановкой [math]\displaystyle{ \pi }[/math] точек [math]\displaystyle{ (a_0,a_1,...~a_k) }[/math], полагают [math]\displaystyle{ (\Delta^k,f)=(-1)^\pi(\Delta^k,f\circ s_\pi) }[/math].

Граничный оператор [math]\displaystyle{ \partial }[/math] определяется на сингулярном симплексе [math]\displaystyle{ (\Delta_k,f) }[/math] так:

[math]\displaystyle{ \partial(\Delta_k,f)=\sum_i (-1)^i(\Delta_{k-1},f_i) }[/math],

где [math]\displaystyle{ \Delta_{k-1} }[/math] стандартный [math]\displaystyle{ (k-1) }[/math]-мерный симплекс, а [math]\displaystyle{ f_i=f\circ\epsilon_i }[/math], где [math]\displaystyle{ \epsilon_i }[/math] — это его отображение на [math]\displaystyle{ i }[/math]-ю грань стандартного симплекса [math]\displaystyle{ \Delta^k (\langle a_0,...~\hat{a_i},...~a_k\rangle) }[/math].

Аналогично симплициальным гомологиям доказывается что [math]\displaystyle{ \partial\partial=0 }[/math].

Как и раньше вводятся понятия сингулярных циклов — таких цепей [math]\displaystyle{ c_k }[/math], что [math]\displaystyle{ \partial{c_k}=0 }[/math], и границ — цепей [math]\displaystyle{ c_k=\partial{c_{k+1}} }[/math] для некоторого [math]\displaystyle{ c_{k+1} }[/math].

Факторгруппа группы циклов по группе границ [math]\displaystyle{ H_k=Z_k/B_k }[/math] называется группой сингулярных гомологий.

Пример

Найдём, к примеру, сингулярные гомологии пространства из одной точки [math]\displaystyle{ X=* }[/math].

Для каждой размерности существует только одно-единственное отображение [math]\displaystyle{ f^k:\Delta^k\to * }[/math].

Граница симплекса [math]\displaystyle{ \partial_k(\Delta^k,f^k)=\sum(-1)^i(\Delta^{k-1},f^{k-1}_i) }[/math], где все [math]\displaystyle{ f^{k-1}_i }[/math] равны, так как отображают симплекс в одну точку (обозначим [math]\displaystyle{ f^{k-1} }[/math]).

Значит:

[math]\displaystyle{ \partial(\Delta^k,f^k)=0 }[/math], если [math]\displaystyle{ k }[/math] нечетно (число членов в сумме четно, а знаки чередуются);

[math]\displaystyle{ \partial(\Delta^k,f^k)=(\Delta^{k-1},f^{k-1}) }[/math], если [math]\displaystyle{ k\not=0 }[/math] и четно;

[math]\displaystyle{ \partial(\Delta^k,f^k)=0 }[/math], если [math]\displaystyle{ k=0 }[/math].

Отсюда получаем для нулевой размерности: [math]\displaystyle{ Z_0=C_0=\mathbb{Z};\quad B_0=0;\quad H_0=\mathbb{Z}. }[/math]

Для нечётной размерности [math]\displaystyle{ k=2n-1: Z_k=C_k=\mathbb{Z};\quad B_k=\mathbb{Z};\quad H_k=0. }[/math]

Для чётной размерности [math]\displaystyle{ k=2n\not=0: Z_k=0;\quad B_k=0;\quad H_k=0. }[/math]

То есть группа гомологий равна [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] для нулевой размерности и равна нулю для всех положительных размерностей.

Можно доказать, что на множестве полиэдров сингулярные гомологии совпадают с ранее определенными симплициальными.

История

Сингулярные гомологии были введены Лефшецом.