Когомологии Александрова — Чеха

Когомологии Александрова — Чеха — теория когомологий, основанная на свойствах открытых покрытий топологического пространства. Такие когомологии оказываются удобными при изучении патологических пространств.

Идея построения заключается в том, что если покрытие пространства составлено из достаточно маленьких множеств, то когомологии нерва покрытия являются хорошей аппроксимацией когомологий самого пространства.

Названы в честь Александровa и Чеха. Обычно обозначаются [math]\displaystyle{ \check{H}^* }[/math].

Построение

Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — топологическое пространство, [math]\displaystyle{ \mathcal{V} }[/math] — открытое покрытие [math]\displaystyle{ X }[/math]. Обозначим через [math]\displaystyle{ N_{\mathcal{V}} }[/math] нерв покрытия [math]\displaystyle{ \mathcal{V} }[/math].

Предположим, покрытие [math]\displaystyle{ \mathcal{W} }[/math] вписано в покрытие [math]\displaystyle{ \mathcal{V} }[/math], то есть любое множество из [math]\displaystyle{ \mathcal{W} }[/math] содержится в некотором множестве из [math]\displaystyle{ \mathcal{V} }[/math]. Выберем отображение, сопоставляющее каждому множеству из [math]\displaystyle{ \mathcal{W} }[/math] содержащее его множество из [math]\displaystyle{ \mathcal{V} }[/math]. Это отображение индуцирует отображение нервов [math]\displaystyle{ f\colon N_{\mathcal{W}}\to N_{\mathcal{V}} }[/math]. Индуцированный гомоморфизм колец когомологий [math]\displaystyle{ f^*\colon H^*(N_{\mathcal{V}},G)\to H^*(N_{\mathcal{W}},G) }[/math] не зависит от выбора [math]\displaystyle{ f }[/math]. (Поскольку мы работаем с симплициальными комплексами, неважно, какую из теорий когомологий мы выбираем.)

Кольца когомологий [math]\displaystyle{ H^*(N_{\mathcal{V}},G) }[/math] с гомоморфизмами [math]\displaystyle{ f^* }[/math] образуют обратную систему. Это даёт возможность перейти к обратному пределу

[math]\displaystyle{ \check{H}^*(X,G)=\varprojlim H^*(N_{\mathcal{V}},G). }[/math]

Полученное кольцо [math]\displaystyle{ \check{H}^*(X,G) }[/math] называется когомологиями Чеха пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] с коэффициентами в [math]\displaystyle{ G }[/math].

Связь с другими теориями когомологий

Польская окружность

• Для патологических пространств когомологии Чеха могут отличатся от сингулярных когомологий.
  • Например, если X — польская окружность, то [math]\displaystyle{ \check{H}^1(X;\mathbb{Z})=\mathbb{Z} }[/math], тогда как [math]\displaystyle{ H^1(X;\mathbb{Z})=0. }[/math]
• Если X гомотопически эквивалентен СW-комплексу, то когомологии Чеха [math]\displaystyle{ \check{H}^{*}(X;A) }[/math] естественно изоморфны сингулярным когомологиям [math]\displaystyle{ H^*(X;A) }[/math].
• Если X является гладким многообразием, то когомологии Чеха [math]\displaystyle{ \check{H}^*(X;\mathbb{R}) }[/math] естественно изоморфны когомологиям де Рама.

Ссылки

• Александров П. С., «Аnn. of Math.», 1928, v. 30, p. 101-87;
• Сесh Е., «Fundam. math.», 1932, t. 19, p. 149-83;
• Bott, Raoul; Loring Tu. Differential Forms in Algebraic Topology (неопр.). — New York: Springer, 1982. — ISBN 0-387-90613-4.
• Hatcher, Allen. Algebraic Topology (неопр.). — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-79540-0.
• Wells, Raymond. Differential Analysis on Complex Manifolds (англ.). — Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-90419-0. Chapter 2 Appendix A