Теорема Грина — Тао
Теорема Грина — Тао — теоретико-числовое утверждение, доказанное Беном Грином и Теренсом Тао в 2004 году[1], согласно которому последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии произвольной длины. Другими словами, существуют арифметические прогрессии простых чисел, состоящие из k членов, где k может быть любым натуральным числом. Доказательство заключается в расширении теоремы Семереди.
Формулировка
Хотя теорема Грина — Тао известна только доказательством самого факта присутствия сколько угодно длинных прогрессий в множестве простых чисел, однако имеются[2] значительные усиления этого утверждения: во-первых, утверждение остаётся верным для произвольного множества простых чисел положительной плотности (относительно множества всех простых чисел); во-вторых, имеются отдельные верхние оценки того, насколько большими могут быть элементы минимальной прогрессии в рассматриваемом множестве.
Далее в формулировках [math]\displaystyle{ \mathbb P }[/math] означает множество простых чисел. Запись [math]\displaystyle{ \log_{[k]} x }[/math] означает [math]\displaystyle{ \log \log \dots \log x }[/math], где логарифм берётся [math]\displaystyle{ k }[/math] раз.
|
Теорема Грина — Тао Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] — множество простых чисел, и его плотность относительно простых [math]\displaystyle{ \delta_{\mathbb P}(A) = \lim \sup_{N \to \infty} \frac{|A \cap \{1, \dots, N\}|}{|\mathbb P \cap \{1, \dots, N\}|} }[/math] строго положительна. Тогда для любого [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math] множество [math]\displaystyle{ A }[/math] содержит арифметическую прогрессию длины [math]\displaystyle{ k }[/math]. |
В своей отдельной более ранней работе[3] Грин доказал результат, касающийся функции распределения множества [math]\displaystyle{ A }[/math], но только для частного случая трёхчленной прогрессии.
|
Существует константа [math]\displaystyle{ c }[/math] такая, что если для множества простых чисел [math]\displaystyle{ A \subset \{1, \dots, N\} }[/math] выполнено [math]\displaystyle{ |A| \gt c \frac{N \sqrt{\log_{[5]} N}}{\log{N} \sqrt{\log_{[4]} N}} }[/math], то оно содержит трёхчленную арифметическую прогрессию. |
Поскольку требуемая функция асимптотически меньше количества простых чисел на отрезке [math]\displaystyle{ [1, n] }[/math], то теорема остаётся верна для бесконечных множеств положительной плотности, когда [math]\displaystyle{ |A \cap \{1, \dots, N\}| \gt \delta \frac{N}{\log N} }[/math], [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math]. Таким образом, можно переформулировать последнюю теорему для фиксированной плотности.
|
Существует константа [math]\displaystyle{ c }[/math] такая, что для любого множества простых чисел [math]\displaystyle{ A \subset \{1, \dots, N\} }[/math] и его плотности [math]\displaystyle{ \delta = \frac{|A \cap \{1, \dots, N\}|}{|\mathbb P \cap \{1, \dots, N\}|} }[/math] будет выполнено следствие: если [math]\displaystyle{ N \geqslant e^{e^{e^{\left(\left(c/\delta^2\right)^{c/\delta^2}\right)}}} }[/math], то [math]\displaystyle{ A }[/math] содержит трёхчленную арифметическую прогрессию. |
Примеры
- 18 января 2007 года Ярослав Вроблевский нашёл первый случай арифметической прогрессии из 24 простых чисел[4]:
- 468 395 662 504 823 + 205 619 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 23.
- Здесь константа 223 092 870 — это произведение простых чисел, не больших 23 (см. примориал).
- 17 мая 2008 года Вроблевский и Раанан Чермони нашли последовательность из 25 простых чисел:
- 6 171 054 912 832 631 + 366 384 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 24.
- 12 апреля 2010 года Бенуа Перишон, пользуясь программой Вроблевского и Джефа Рейнолдса в проекте распределённых вычислений PrimeGrid, нашёл арифметическую прогрессию из 26 простых чисел:
Вариации и обобщения
В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий[5]. Более точно, для любых заданных полиномов с целыми коэффициентами P1, …, Pk одной переменной m с нулевым постоянным членом имеется бесконечно много целых x, m, таких, что x + P1(m), …, x + Pk(m) — простые числа. Специальный случай, когда полиномы — это m, 2m, …, km, влечёт за собой предыдущий результат (имеются арифметические прогрессии простых чисел длины k).
См. также
- Гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях
- Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии
- Арифметическая комбинаторика
- Теорема Семереди
Примечания
- ↑ Green, Ben & Tao, Terence (2008), The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Annals of Mathematics Т. 167 (2): 481—547, DOI 10.4007/annals.2008.167.481.
- ↑ И. Д. Шкредов, Теорема Семереди и задачи об арифметических прогрессиях Архивная копия от 24 июля 2018 на Wayback Machine, с. 117.
- ↑ Green, Ben (2005), Roth's theorem in the primes, Annals of Mathematics Т. 161 (3): 1609—1636, DOI 10.4007/annals.2005.161.1609.
- ↑ Jens Kruse Andersen, Primes in Arithmetic Progression Records Архивная копия от 14 июля 2014 на Wayback Machine.
- ↑ Tao, Terence & Ziegler, Tamar (2008), The primes contain arbitrarily long polynomial progressions, Acta Mathematica Т. 201: 213—305, DOI 10.1007/s11511-008-0032-5.