Комплексное многообразие

Компле́ксное многообразие — хаусдорфово топологическое пространство, покрытое открытыми множествами, каждое из которых гомеоморфно области в [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном комплексном пространстве [math]\displaystyle{ \Complex^n }[/math]. При этом в пересечении двух открытых множеств преобразование локальных координат [math]\displaystyle{ \omega^{i}=u^{i}(z^{1},...,z^{n}) }[/math] является комплексно-аналитическим. То есть функции [math]\displaystyle{ u^{i} }[/math] являются голоморфными, а функциональный определитель не обращается в ноль:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial(\omega^{1}, \dots, \omega^{n}) }{\partial (z^{1}, ..., z^{n})} \neq 0 }[/math].

Набор таких открытых множеств называется голоморфным атласом многообразия.

Примеры комплексных многообразий:

• Ориентированная двумерная поверхность.
• Комплексное [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерное векторное пространство [math]\displaystyle{ \Complex^n }[/math].
• Комплексное проективное пространство [math]\displaystyle{ \Complex P^n }[/math]. В частности, [math]\displaystyle{ \Complex P^1 }[/math] диффеоморфно двумерной сфере.
• Комплексная эллиптическая кривая. Диффеоморфна двумерному тору [math]\displaystyle{ \mathbb S^1 \times \mathbb S^1 }[/math]

Эрмитова метрика на комплексном многообразии — аналог римановой метрики для вещественного многообразия, положительно определённая эрмитова форма вида

[math]\displaystyle{ ds^{2}=\sum_{j, k}h_{j \overline{k}}dz^{j}d\overline{z^{k}} }[/math],

где [math]\displaystyle{ h_{j \overline{k}} = h_{\overline{j} k} }[/math] — комплексные функции.

См. также: Многообразие (значения)

Литература

• Чжэнь Шэн-шэнь. Комплексные многообразия. — М.: ИЛ, 1961. — 239 с.