Круг сходимости

Круг сходимости степенного ряда [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n }[/math] — это круг вида

[math]\displaystyle{ D=\{z: |z-z_0| \lt R \} }[/math], [math]\displaystyle{ z\in\mathbb C }[/math],

в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при [math]\displaystyle{ |z-z_0|\gt R }[/math], расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть внутренность множества точек сходимости ряда. Круг сходимости может вырождаться в пустое множество, когда [math]\displaystyle{ R = 0 }[/math], и может совпадать со всей плоскостью переменного [math]\displaystyle{ z }[/math], когда [math]\displaystyle{ R = \infty }[/math].

Радиус сходимости

Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости ряда.

Радиус сходимости ряда Тейлора аналитической функции равен расстоянию от центра ряда до множества особых точек функции, и может быть вычислен по формуле Коши — Адамара:

[math]\displaystyle{ {1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow \infty}} \, |a_n|^{1/n} }[/math]

Эта формула выводится на основе признака Коши.

Теорема Островского — Адамара

Основная статья: Теорема Адамара о лакунах

Для степенного ряда

[math]\displaystyle{ f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k }[/math],

у которого почти все коэффициенты равны нулю, в том смысле, что последовательность ненулевых коэффициентов [math]\displaystyle{ a_{k(i)} }[/math] удовлетворяет

[math]\displaystyle{ \frac{k(i+1)}{k(i)} \gt 1 + \delta }[/math]

для некоторого фиксированного [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math], круг с центром [math]\displaystyle{ z_0 }[/math] и радиусом, равным радиусу сходимости, является естественной границей — аналитическое продолжение функции, определяемой таким рядом, невозможно за пределы круга.

См. также

• Аналитическое продолжение