Многочлен

Запрос «Полином» перенаправляется сюда; о гидроакустической станции см. Полином (гидроакустическая станция).

График многочлена 7 степени.

Многочле́н (или полино́м от греч. πολυ- «много» + лат. nomen «имя») от [math]\displaystyle{ n }[/math] переменных [math]\displaystyle{ x_1, x_2, ... x_n }[/math]— это сумма одночленов или, строго, — конечная формальная сумма вида

[math]\displaystyle{ P(x_1, \ldots, x_n)=\sum_I c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} }[/math], где

• [math]\displaystyle{ I=(i_1,i_2,\dots,i_n) }[/math] — набор из [math]\displaystyle{ n }[/math] целых неотрицательных чисел, именуемый мультииндексом,
• [math]\displaystyle{ c_I }[/math] — число, именуемое коэффициентом многочлена, зависящее только от мультииндекса [math]\displaystyle{ \mathit{I} }[/math].

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

[math]\displaystyle{ P(x)=c_0 + c_1x^1 + \dots + c_mx^m }[/math], где

• [math]\displaystyle{ c_i }[/math] — фиксированные коэффициенты,
• [math]\displaystyle{ x }[/math] — переменная.

С помощью многочлена вводятся понятия «алгебраическое уравнение», «алгебраическая функция» и «алгебраическое число».

Изучение и применение

Графики многочленов Бернулли

Изучение полиномиальных уравнений и их решений долгое время составляло едва ли не главный объект «классической алгебры».

С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в математическом анализе.

Благодаря тому, что вычисления, связанные с многочленами, просты по сравнению с более сложными классами функций, а также тому факту, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (см. аппроксимационную теорему Вейерштрасса), были развиты методы разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии. Её ключевым объектом являются множества, определённые как решения систем полиномиальных уравнений.

Особые свойства преобразования коэффициентов при перемножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования или выражения при помощи многочленов свойств различных объектов.

Связанные определения

• Многочлен вида [math]\displaystyle{ c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} }[/math] называется одночленом или мономом мультииндекса [math]\displaystyle{ I=(i_1,\dots,\,i_n) }[/math].
• Одночлен, соответствующий мультииндексу [math]\displaystyle{ I=(0,\dots,\,0) }[/math] называется свободным членом.
• Полной степенью (ненулевого) одночлена [math]\displaystyle{ c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} }[/math] называется целое число [math]\displaystyle{ |I|=i_1+i_2+\dots+i_n }[/math].
• Множество мультииндексов [math]\displaystyle{ \mathit{I} }[/math], для которых коэффициенты [math]\displaystyle{ c_I }[/math] ненулевые, называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка — многогранником Ньютона.
• Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов. Степень тождественного нуля либо принимается неопределённой, либо доопределяется значением [math]\displaystyle{ -1 }[/math] или [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] (см. степень нулевого многочлена).
• Многочлен, являющийся суммой двух мономов, называется двучленом или биномом,
• Многочлен, являющийся суммой трёх мономов, называется трёхчленом или триномом.
• Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца [math]\displaystyle{ R }[/math] (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом [math]\displaystyle{ R }[/math] без делителей нуля) которое обозначается [math]\displaystyle{ R[x_1,x_2,\dots,x_n] }[/math].
• Для многочлена [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] одной переменной, решение уравнения [math]\displaystyle{ p(x)=0 }[/math] называется его корнем.

Полиномиальные функции

Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] — алгебра над кольцом [math]\displaystyle{ R. }[/math] Произвольный многочлен [math]\displaystyle{ p(x)\in R[x_1,x_2,\dots,x_n] }[/math] определяет полиномиальную функцию

[math]\displaystyle{ p_R\colon A\to A. }[/math]

Чаще всего рассматривают случай [math]\displaystyle{ A=R. }[/math]

В случае, если [math]\displaystyle{ R }[/math] — поле вещественных или комплексных чисел (или любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция [math]\displaystyle{ f_p\colon R^n\to R }[/math] полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены [math]\displaystyle{ p_1(x)\equiv x }[/math] и [math]\displaystyle{ p_2(x)\equiv x^2 }[/math] из [math]\displaystyle{ \Z_2[x] }[/math] определяют тождественно равные функции [math]\displaystyle{ \Z_2\to\Z_2 }[/math].

Полиномиальная функция одного действительного переменного называется целой рациональной функцией.

Виды многочленов

• Многочлен одной переменной называется унитарным, нормированным или приведённым, если его старший коэффициент равен единице.
• Многочлен, все одночлены которого имеют одну и ту же полную степень, называется однородным.
  • Например [math]\displaystyle{ x^2+xy+y^2 }[/math] — однородный многочлен двух переменных, а [math]\displaystyle{ x^2+y+1 }[/math] не является однородным.
• Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым.

Свойства

• Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само является областью целостности.
• Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым факториальным кольцом само является факториальным.
• Кольцо многочленов от одного переменного над полем является кольцом главных идеалов, то есть любой его идеал может быть порождён одним элементом.
  • Более того, кольцо многочленов от одного переменного над полем является евклидовым кольцом.
• Теорема о рациональных корнях.

Делимость

См. также: Деление многочленов столбиком

Если [math]\displaystyle{ A }[/math] - многочлен, [math]\displaystyle{ B }[/math] - отличный от нуля многочлен, тогда существуют такие многочлены [math]\displaystyle{ P }[/math] и [math]\displaystyle{ Q }[/math], что [math]\displaystyle{ A = PB + Q }[/math], и [math]\displaystyle{ Q }[/math] равен нулю или имеет степень меньшую чем у [math]\displaystyle{ B }[/math]. Многочлены [math]\displaystyle{ P }[/math] и [math]\displaystyle{ Q }[/math] являются единственными возможными.

Роль неприводимых многочленов в кольце многочленов сходна с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение многочленов [math]\displaystyle{ pq }[/math] делится на неприводимый многочлен [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], то p или q делится на [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]. Каждый многочлен степени большей нуля разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен [math]\displaystyle{ x^4-2 }[/math], неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного [math]\displaystyle{ x }[/math] разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого [math]\displaystyle{ n\gt 2 }[/math] существуют многочлены от [math]\displaystyle{ n }[/math] переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

Алегбраические операции с многочленами

Умножение

Умножение многочленов основывается на общем принципе, что произведение сумм равно сумме всех произведений [math]\displaystyle{ PQ }[/math], где [math]\displaystyle{ P }[/math] - член (слагаемое) первого многочлена, [math]\displaystyle{ Q }[/math] - член второго многочлена. Таким образом, если [math]\displaystyle{ A }[/math] - многочлен [math]\displaystyle{ a_0+a_1x+ · · · +a_nx^n }[/math], а [math]\displaystyle{ B }[/math] - многочлен [math]\displaystyle{ b_0+b_1x+ · · · +b_mx^m }[/math], тогда их произведение [math]\displaystyle{ AB }[/math] это многочлен [math]\displaystyle{ c_0+c_1x+ · · · + c_{m+n}x^{m+n} }[/math], где [math]\displaystyle{ c_i }[/math] это сумма всех произведений [math]\displaystyle{ a_pb_q }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ p+q = i }[/math].

Такая операция умножения многочленов заключается в умножении каждого слагаемого [math]\displaystyle{ a_px^p }[/math] многочлена [math]\displaystyle{ A }[/math] на каждое слагаемое [math]\displaystyle{ b_qx^q }[/math] многочлена [math]\displaystyle{ B }[/math], так чтобы это умножение удовлетворяло форме [math]\displaystyle{ a_pb_qx^{p+q} }[/math], и для каждого [math]\displaystyle{ i }[/math] от [math]\displaystyle{ 0 }[/math] до [math]\displaystyle{ n+m }[/math] объединения этих произведений в один член (слагаемое), в котором все мономы имеют вид [math]\displaystyle{ a_pb_qx^{p+q} }[/math] в котором [math]\displaystyle{ p+q=i }[/math]. Каждый член (слагаемое) произведения многочленов приобретет следующий вид [math]\displaystyle{ (a_0b_i+a_1b_{i-1} + · · · +a_ib_0)x^i }[/math], следует учитывать, что для значений [math]\displaystyle{ i }[/math] больших [math]\displaystyle{ n }[/math] или [math]\displaystyle{ m }[/math] некоторых слагаемых этого выражения может и не оказаться.

Пример умножения многочленов

Например, если

[math]\displaystyle{ \begin{align} \color{Red} A &\color{Red}{= 5+ 2x + 3x^2} \\ \color{Blue} B &\color{Blue}{= 1 + 3x + 6x^2} \end{align} }[/math]

то

[math]\displaystyle{ \begin{array}{rccrcrcrcr} {\color{Red}{A}} {\color{Blue}{B}}&=({\color{Red}{5}}\cdot{\color{Blue}{1}})&+&({\color{Red}{5}}\cdot{\color{Blue}{3}}+{\color{Red}{2}}\cdot{\color{Blue}{1}})\cdot{x}&+&({\color{Red}{5}}\cdot\color{Blue}{6}+ {\color{Red}{2}}\cdot\color{Blue}{3} + {\color{Red}{1}}\cdot\color{Blue}{3})\cdot{x^2} \\&& +&({\color{Red}{2}}\cdot\color{Blue}{6} + {\color{Red}{3}}\cdot\color{Blue}{3})\cdot{x^3}&+&({\color{Red}{3}}\cdot\color{Blue}{6})\cdot{x^4} \\&& =& 5 + 17x + 39x^2 + 21 x^3 + 18 x^4 \end{array} }[/math]

Вариации и обобщения

• Если в определении допустить также отрицательные степени, то полученный объект называется Многочлен Лорана.
• Квазимногочлен
• Тригонометрический многочлен
• Степенной ряд

См. также

• Базис Грёбнера
• Позином
• Сплайн
• Теорема Гаусса — Люка

Литература

• Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980. — 176 с.
• Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 9 изд. — М., 1968.
• Мишина А. П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра, 2 изд. — М., 1965.
• Солодовников А. С, Родина М. А. Задачник-практикум по алгебре. — М.: Просвещение, 1985. — 127 с.
• Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.
• Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. — М., 1977.

Ссылки

• Многочлен / А. И. Маркушевич // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.