Теорема о рациональных корнях

В алгебре теоре́ма о рациона́льных корня́х (также тест на рациона́льные ко́рни) определяет рамки для рациональных корней многочлена вида:

[math]\displaystyle{ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ...+a_0=0 }[/math]

с целыми коэффициентами [math]\displaystyle{ a_i }[/math]и [math]\displaystyle{ a_0,a_n\neq0 }[/math].

Теорема утверждает, что каждый рациональный корень [math]\displaystyle{ x=p/q }[/math], где [math]\displaystyle{ p }[/math] и [math]\displaystyle{ q }[/math] — взаимно простые числа, удовлетворяет условию, что

• [math]\displaystyle{ p }[/math] является делителем свободного члена [math]\displaystyle{ a_0 }[/math],

• [math]\displaystyle{ q }[/math] является делителем старшего коэффициента [math]\displaystyle{ a_n }[/math].

Теорема о рациональных корнях является частным случаем леммы Гаусса.

Применение

Теорема используется для нахождения всех рациональных корней многочлена, если таковые существуют. С её помощью определяется конечное количество возможных решений, подлежащих проверке подстановкой. Если рациональный корень [math]\displaystyle{ x=r }[/math] найден, исходный многочлен может быть поделён без остатка на [math]\displaystyle{ x-r }[/math] с получением многочлена меньшей степени, чьи корни также являются корнями исходного многочлена.

Кубическое уравнение

Кубическое уравнение в общем виде:

[math]\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d=0 }[/math]

с целыми коэффициентами имеет три решения в комплексных числах. Если тест на рациональные корни не выявляет таковых, то единственным способом выражения решений является использование кубических корней. Однако в случае выявления хотя бы одного рационального решения r, вынесение (x-r) за скобки приводит к квадратному уравнению, которое возможно решить через дискриминант.

Доказательство

Пусть:

[math]\displaystyle{ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0, a_0,...a_n\in Z }[/math].

Предположим, что [math]\displaystyle{ P(p/q) = 0 }[/math] для некоторых взаимно простых целых [math]\displaystyle{ p }[/math] и [math]\displaystyle{ q }[/math]:

[math]\displaystyle{ P\left(\frac{p}{q}\right)= a_n\left(\frac{p}{q}\right)^{n}+a_{n-1}\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}+...+a_1\left(\frac{p}{q}\right)+a_0=0 }[/math].

Умножая обе части уравнения на [math]\displaystyle{ q^n }[/math], вынося [math]\displaystyle{ p }[/math] за скобки и перенося свободный член с противоположным знаком в правую часть уравнения, получаем:

[math]\displaystyle{ p(a_np^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+...+a_1q^{n-1})=-a_0q^n }[/math].

Видно, что [math]\displaystyle{ p }[/math] является делителем [math]\displaystyle{ a_0q^n }[/math]. Но [math]\displaystyle{ p }[/math] и [math]\displaystyle{ q }[/math] — взаимно простые числа, значит, [math]\displaystyle{ p }[/math] также должно быть делителем [math]\displaystyle{ a_0 }[/math].

Если, напротив, перенести старший член в правую часть уравнения и вынести [math]\displaystyle{ q }[/math] за скобки, получим:

[math]\displaystyle{ q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+...+a_{0}q^{n-1})=-a_{n}p^{n} }[/math].

Сделаем вывод о делимости [math]\displaystyle{ a_n }[/math] на [math]\displaystyle{ q }[/math].

Примеры

Пример 1

Каждый рациональный корень многочлена

[math]\displaystyle{ 2x^3+x-1 }[/math]

должен иметь делитель единицы в числителе и делитель двойки в знаменателе. Таким образом, возможными рациональными корнями являются [math]\displaystyle{ \pm\frac{1}{2} }[/math] и [math]\displaystyle{ \pm1 }[/math]. Однако ни один их них не обращает выражение в ноль, следовательно, многочлен рациональных корней не имеет.

Пример 2

Каждый рациональный корень многочлена

[math]\displaystyle{ x^3-7x+6 }[/math]

должен иметь делитель шестерки в числителе и делитель единицы в знаменателе, откуда возможными корнями являются [math]\displaystyle{ \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 }[/math]. Из них [math]\displaystyle{ 1 }[/math], [math]\displaystyle{ 2 }[/math] и [math]\displaystyle{ -3 }[/math] обращают выражение в ноль, являясь, таким образом, корнями многочлена.

Литература

• Miller C. D., Lial M. L., Schneider D. I. Fundamentals of college algebra (англ.). — 3rd edition. — Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 1990. — P. 216–221. — ISBN 0-673-38638-4.
• Jones P. S., Bedient J. D. The historical roots of elementary mathematics (англ.). — Dover Courier Publications, 1998. — P. 116–117. — ISBN 0-486-25563-8.
• Larson R. Calculus: an applied approach (англ.). — Cengage Learning, 2007. — P. 23–24. — ISBN 978-0-618-95825-2.