Тета-функция

Оригинальная тета-функция Якоби [math]\displaystyle{ \theta_1 }[/math] с [math]\displaystyle{ u = i{\pi}z }[/math] и номом [math]\displaystyle{ q = e^{i{\pi}\tau} = 0,1e^{0,1i\pi} }[/math]}}. Соглашения:
[math]\displaystyle{ \begin{align} \theta_1(u;q) &= 2 q^\frac14 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n q^{n(n+1)} \sin(2n+1)u \\ &= \sum_{n=-\infty}^{n=\infty} (-1)^{n-\frac12} q^{\left(n+\frac12\right)^2} e^{(2n+1)i u} \end{align} }[/math]

Тета-функции — это специальные функции от нескольких комплексных переменных. Они играют важную роль во многих областях, включая теории абелевых многообразий, пространства модулей и квадратичных форм. Они применяются также в теории солитонов. После обобщения к алгебре Грассмана функции появляются также в квантовой теории поля.

Наиболее распространённый вид тета-функций — это функции, встречающиеся в теории эллиптических функций. По отношению к одной из комплексных переменных (обычно обозначаемой z) тета-функция имеет свойство, выражающееся в сложении периодов ассоциированных эллиптических функций, что делает их квазипериодическими. В абстрактной теории это получается из условия линейного расслоения понижения.

Тета-функция Якоби

Тета-функция 1 Якоби

Тета-функция 2 Якоби

Тета-функция 3 Якоби

Тета-функция 4 Якоби

Имеется несколько связанных функций, которые называются тета-функциями Якоби, и много различных и несовместимых систем их обозначения. Одна тета-функция Якоби (названа именем Карла Густава Якоби), это функция, определённая от двух комплексных переменных z и [math]\displaystyle{ \tau }[/math], где z может быть любым комплексным числом, а [math]\displaystyle{ \tau }[/math] ограничена верхней половиной плоскости, что означает, что число имеет положительную мнимую часть. Функция задаётся формулой

[math]\displaystyle{ \begin{align} \vartheta(z; \tau) &= \sum_{n=-\infty}^\infty \exp \left(\pi i n^2 \tau + 2 \pi i n z\right) = \\ &= 1 + 2 \sum_{n=1}^\infty \left(e^{\pi i\tau}\right)^{n^2} \cos(2\pi n z) = \sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}\eta^n, \end{align} }[/math]

где [math]\displaystyle{ q = \exp(\pi{i}\tau) }[/math] и [math]\displaystyle{ \eta = \exp(2\pi{i}z) }[/math]. Функция является формой Якоби. Если фиксировать [math]\displaystyle{ \tau }[/math], функция становится рядом Фурье для периодической целой функции от z с периодом 1. В этом случае тета-функция удовлетворяет тождеству

[math]\displaystyle{ \vartheta(z + 1; \tau) = \vartheta(z; \tau). }[/math]

Функция ведёт себя очень регулярно с учётом квазипериода [math]\displaystyle{ \tau }[/math] и удовлетворяет функциональному уравнению

[math]\displaystyle{ \vartheta(z + a + b\tau; \tau) = \exp\left(-\pi i b^2 \tau -2 \pi i b z\right) \,\vartheta(z; \tau), }[/math]

где a и b — целые числа.

Тета-функция [math]\displaystyle{ \theta_1 }[/math] с различными номами [math]\displaystyle{ q = e^{i{\pi}\tau} }[/math]. Чёрная точка на правом рисунке показывает, как меняется q при изменении [math]\displaystyle{ \tau }[/math]

Тета-функция [math]\displaystyle{ \theta_1 }[/math] с различными номами [math]\displaystyle{ q = e^{i{\pi}\tau} }[/math]. Чёрная точка на правом рисунке показывает, как меняется q при изменении [math]\displaystyle{ \tau }[/math]

Вспомогательные функции

Тета-функция Якоби, определённая выше, иногда рассматривается вместе с тремя дополнительными тета-функциями и в этом случае записывается с дополнительным индексом 0:

[math]\displaystyle{ \vartheta_{00}(z;\tau) = \vartheta(z;\tau) }[/math]

Дополнительные (полупериодичные) функции определяются формулами

[math]\displaystyle{ \begin{align} \vartheta_{01}(z;\tau)& = \vartheta\!\left(z+\tfrac12;\tau\right)\\[3pt] \vartheta_{10}(z;\tau)& = \exp\left(\tfrac14\pi i \tau + \pi i z\right)\vartheta\left(z + \tfrac12\tau;\tau\right)\\[3pt] \vartheta_{11}(z;\tau)& = \exp\left(\tfrac14\pi i \tau + \pi i\left(z+\tfrac12\right)\right)\vartheta\left(z+\tfrac12\tau + \tfrac12;\tau\right). \end{align} }[/math]

Этим обозначениям следовали Риман и Мамфорд. Первоначальная формулировка Якоби была в терминах нома [math]\displaystyle{ q = e^{i{\pi}\tau} }[/math], а не [math]\displaystyle{ \tau }[/math]. В обозначениях Якоби θ-функции записываются в виде:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \theta_1(z;q) &= -\vartheta_{11}(z;\tau)\\ \theta_2(z;q) &= \vartheta_{10}(z;\tau)\\ \theta_3(z;q) &= \vartheta_{00}(z;\tau)\\ \theta_4(z;q) &= \vartheta_{01}(z;\tau) \end{align} }[/math]

Приведённые выше определения тета-функции Якоби далеко не единственные. См. статью Тета-функции Якоби (вариации обозначений) с дальнейшим обсуждением.

Если мы положим [math]\displaystyle{ z = 0 }[/math] в тета-функциях выше, мы получим четыре функции, зависящие только от [math]\displaystyle{ \tau }[/math] и определённые на верхней полуплоскости (которые иногда называются тета-константами.) Они могут быть использованы для определения различных модулярных форм и для параметризации некоторых кривых. В частности, тождество Якоби

[math]\displaystyle{ \vartheta_{00}(0;\tau)^4 = \vartheta_{01}(0;\tau)^4 + \vartheta_{10}(0;\tau)^4 }[/math]

является кривой Ферма четвёртой степени.

Тождества Якоби

Тождества Якоби описывают, как тета-функции преобразуются модулярной группой, которая порождается отображениями [math]\displaystyle{ \tau \mapsto \tau + 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \tau \mapsto -\tfrac{1}{\tau} }[/math]. Тождества для первого преобразования найти легко, поскольку добавление единицы в показателе к [math]\displaystyle{ \tau }[/math] имеет тот же эффект, что и добавление [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2} }[/math] к z ([math]\displaystyle{ n \equiv n^2 }[/math] mod 2). Во втором случае положим

[math]\displaystyle{ \alpha = (-i \tau)^\frac12 \exp\left(\frac{\pi}{\tau} i z^2 \right). }[/math]

Тогда

[math]\displaystyle{ \begin{align} \vartheta_{00}\!\left(\frac{z}{\tau}; \frac{-1}{\tau}\right)& = \alpha\,\vartheta_{00}(z; \tau)\quad& \vartheta_{01}\!\left(\frac{z}{\tau}; \frac{-1}{\tau}\right)& = \alpha\,\vartheta_{10}(z; \tau)\\[3pt] \vartheta_{10}\!\left(\frac{z}{\tau}; \frac{-1}{\tau}\right)& = \alpha\,\vartheta_{01}(z; \tau)\quad& \vartheta_{11}\!\left(\frac{z}{\tau}; \frac{-1}{\tau}\right)& = -i\alpha\,\vartheta_{11}(z; \tau). \end{align} }[/math]

Тета-функции в терминах нома

Вместо выражения тета-функций в терминах z и [math]\displaystyle{ \tau }[/math] мы можем выразить их в терминах аргумента w и нома q, где [math]\displaystyle{ w = e^{\pi{i}z} }[/math], а [math]\displaystyle{ q = e^{\pi{i}\tau} }[/math]. В этом случае функции превращаются в

[math]\displaystyle{ \begin{align} \vartheta_{00}(w, q)& = \sum_{n=-\infty}^\infty (w^2)^n q^{n^2}\quad& \vartheta_{01}(w, q)& = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n (w^2)^n q^{n^2}\\[3pt] \vartheta_{10}(w, q)& = \sum_{n=-\infty}^\infty (w^2)^{n+\frac12} q^{\left(n + \frac12\right)^2}\quad& \vartheta_{11}(w, q)& = i \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n (w^2)^{n+\frac12} q^{\left(n + \frac12\right)^2}. \end{align} }[/math]

Мы видим, что тета-функции можно определить в терминах w и q без прямой ссылки на экспоненциальную функцию. Формулы могут быть использованы, поэтому, для определения тета-функций над другими полями, где экспоненциальная функция может быть не везде определена, такими как поле p-адических чисел.

Представления произведений

Тройное произведение Якоби (специальный случай тождеств Макдональда) говорит нам, что для комплексных чисел w и q с [math]\displaystyle{ |q|\lt 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ w \ne 0 }[/math] мы имеем

[math]\displaystyle{ \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + w^2 q^{2m-1}\right) \left( 1 + w^{-2}q^{2m-1}\right) = \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n}q^{n^2}. }[/math]

Это можно доказать элементарными средствами, как, например, в книге Харди и Райта An Introduction to the Theory of Numbers.

Если мы выразим тета-функцию в терминах томов [math]\displaystyle{ q = e^{\pi{i}\tau} }[/math] и [math]\displaystyle{ w = e^{\pi{i}z} }[/math], то

[math]\displaystyle{ \vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i \tau n^2) \exp(2\pi i z n) = \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n}q^{n^2}. }[/math]

Мы поэтому получаем формулу произведения для тета-функции вида

[math]\displaystyle{ \vartheta(z; \tau) = \prod_{m=1}^\infty \big( 1 - \exp(2m \pi i \tau)\big) \Big( 1 + \exp\big((2m-1) \pi i \tau + 2 \pi i z\big)\Big) \Big( 1 + \exp\big((2m-1) \pi i \tau - 2 \pi i z\big)\Big). }[/math]

В терминах w и q:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \vartheta(z; \tau) &= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + q^{2m-1}w^2\right) \left( 1 + \frac{q^{2m-1}}{w^2}\right) \\ &= \left(q^2;q^2\right)_\infty\,\left(-w^2q;q^2\right)_\infty\,\left(-\frac{q}{w^2};q^2\right)_\infty \\ &= \left(q^2;q^2\right)_\infty\,\theta\left(-w^2q;q^2\right) \end{align} }[/math]

где [math]\displaystyle{ (~~;~~)_\infty }[/math] является q-символом Похгаммера, а [math]\displaystyle{ \theta(~~;~~) }[/math] является q-тета-функцией. Если раскрыть скобки, тройное произведение Якоби получит вид

[math]\displaystyle{ \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \Big( 1 + \left(w^2+w^{-2}\right)q^{2m-1}+q^{4m-2}\Big), }[/math]

что можно также переписать в виде

[math]\displaystyle{ \vartheta(z\mid q) = \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + 2 \cos(2 \pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right). }[/math]

Эта формула верна для общего случая, но представляет особый интерес при вещественных z. Аналогичные формулы произведений для дополнительных тета-функций

[math]\displaystyle{ \begin{align} \vartheta_{01}(z\mid q) &= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 - 2 \cos(2 \pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right), \\[3pt] \vartheta_{10}(z\mid q) &= 2 q^\frac14\cos(\pi z)\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + 2 \cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right), \\[3pt] \vartheta_{11}(z\mid q) &= -2 q^\frac14\sin(\pi z)\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 - 2 \cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right). \end{align} }[/math]

Целочисленные представления

Тета-функции Якоби имеют следующие интегральные представления:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \vartheta_{00} (z; \tau) &= -i \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \frac{\cos (2 u z + \pi u)}{\sin (\pi u)}} \mathrm{d}u; \\[6pt] \vartheta_{01} (z; \tau) &= -i \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \frac{\cos (2 u z)}{\sin (\pi u)}} \mathrm{d}u; \\[6pt] \vartheta_{10} (z; \tau) &= -i e^{iz + \frac14 i \pi \tau } \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \frac{\cos (2 u z + \pi u + \pi \tau u)}{\sin (\pi u)}} \mathrm{d}u; \\[6pt] \vartheta_{11} (z; \tau) &= e^{iz + \frac14 i \pi \tau } \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \frac{\cos (2 u z + \pi \tau u)}{\sin (\pi u)}} \mathrm{d}u. \end{align} }[/math]

Явные значения

См. статью Йи (2004).

[math]\displaystyle{ \begin{align} \varphi(e^{-\pi x}) &= \vartheta(0; ix) = \theta_3(0;e^{-\pi x}) = \sum_{n=-\infty}^\infty e^{-x \pi n^2} \\[6pt] \varphi\left(e^{-\pi} \right) &= \frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma\left(\frac34\right)} \\[6pt] \varphi\left(e^{-2\pi} \right) &= \frac{\sqrt[4]{6\pi+4\sqrt2\pi}}{2\Gamma\left(\frac34\right)} \\[6pt] \varphi\left(e^{-3\pi}\right) &= \frac{\sqrt[4]{27\pi+18\sqrt3\pi}}{3\Gamma\left(\frac34\right)} \\[6pt] \varphi\left(e^{-4\pi}\right) &=\frac{\sqrt[4]{8\pi}+2\sqrt[4]{\pi}}{4\Gamma\left(\frac34\right)} \\[6pt] \varphi\left(e^{-5\pi} \right) &=\frac{\sqrt[4]{225\pi+ 100\sqrt5 \pi}}{5\Gamma\left(\frac34\right)} \\[6pt] \varphi\left(e^{-6\pi}\right) &= \frac{\sqrt[3]{3\sqrt{2}+3\sqrt[4]{3}+2\sqrt{3}-\sqrt[4]{27}+\sqrt[4]{1728}-4}\cdot \sqrt[8]{243{\pi}^2}}{6\sqrt[6]{1+\sqrt6-\sqrt2-\sqrt3}\;{\Gamma\left(\frac34\right)}} \end{align} }[/math]

Некоторые тождества с рядами

Следующие два тождества для рядов доказал Иштван Мезо:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \vartheta_4^2(q)&=iq^{\frac14}\sum_{k=-\infty}^\infty q^{2k^2-k}\vartheta_1\left(\frac{2k-1}{2i}\ln q,q\right), \\[6pt] \vartheta_4^2(q)&=\sum_{k=-\infty}^\infty q^{2k^2}\vartheta_4\left(\frac{k\ln q}{i},q\right). \end{align} }[/math]

Эти отношения выполняются для всех 0 < q < 1. Фиксируя значения q, мы получим следующие свободные от параметров суммы

[math]\displaystyle{ \begin{align} \sqrt{\frac{\pi\sqrt{e^\pi}}{2}}\cdot\frac{1}{\Gamma^2\left(\frac34\right)}&=i\sum_{k=-\infty}^\infty e^{\pi\left(k-2k^2\right)}\vartheta_1\left(\frac{i\pi}{2}(2k-1),e^{-\pi}\right), \\[6pt] \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot\frac{1}{\Gamma^2\left(\frac34\right)}&=\sum_{k=-\infty}^\infty\frac{\vartheta_4\left(ik\pi,e^{-\pi}\right)}{e^{2\pi k^2}} \end{align} }[/math]

Нули тета-функций Якоби

Все нули тета-функций Якоби являются простыми нулями и задаются следующим образом:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \vartheta(z,\tau) = \vartheta_3(z,\tau) &= 0 \quad &\Longleftrightarrow&& \quad z &= m + n \tau + \frac{1}{2} + \frac{\tau}{2} \\[3pt] \vartheta_1(z,\tau) &= 0 \quad &\Longleftrightarrow&& \quad z &= m + n \tau \\[3pt] \vartheta_2(z,\tau) &= 0 \quad &\Longleftrightarrow&& \quad z &= m + n \tau + \frac{1}{2} \\[3pt] \vartheta_4(z,\tau) &= 0 \quad &\Longleftrightarrow&& \quad z &= m + n \tau + \frac{\tau}{2} \end{align} }[/math],

где m, n являются произвольными целыми.

Связь с дзета-функцией Римана

Соотношение

[math]\displaystyle{ \vartheta\left(0;-\frac{1}{\tau}\right)=(-i\tau)^\frac12 \vartheta(0;\tau) }[/math]

использовал Риман для доказательства функционального уравнения для дзета-функции Римана посредством преобразования Меллина

[math]\displaystyle{ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \pi^{-\frac{s}{2}} \zeta(s) = \frac{1}{2}\int_0^\infty\big(\vartheta(0;it)-1\big) t^\frac{s}{2}\frac{\mathrm{d}t}{t} }[/math]

и можно показать, что преобразование инвариантно относительно замены s на 1 − s. Cоответствующий интеграл для z ≠ 0 дан в статье о дзета-функции Гурвица.

Связь с эллиптической функцией Вейерштрасса

Тета-функции использовал Якоби для построения (в виде, приспособленном для упрощения вычислений) его эллиптических функций как частные вышеприведённых четырёх тета-функций, и он мог их использовать также для построения эллиптических функций Вейерштрасса, поскольку

[math]\displaystyle{ \wp(z;\tau) = -\big(\log \vartheta_{11}(z;\tau)\big)'' + c }[/math],

где вторая производная берётся по z, а константа c определена так, что ряд Лорана функции ℘(z) в точке z = 0 имеет нулевой постоянный член.

Связь с q-гамма функцией

Четвёртая тета-функция – а тогда и остальные – неразрывно связана с q-гамма-функцией Джексона соотношением.

[math]\displaystyle{ \left(\Gamma_{q^2}(x)\Gamma_{q^2}(1-x)\right)^{-1}=\frac{q^{2x(1-x)}}{\left(q^{-2};q^{-2}\right)^3_\infty\left(q^2-1\right)}\vartheta_4\left(\frac{1}{2i}(1-2x)\log q,\frac{1}{q}\right). }[/math]

Связь с эта-функцией Дедекинда

Пусть [math]\displaystyle{ \eta(\tau) }[/math] — эта-функция Дедекинда, а аргумент тета-функции представлен как ном [math]\displaystyle{ q = e^{\pi{i}\tau} }[/math]. Тогда

[math]\displaystyle{ \begin{align} \theta_2(0,q) = \vartheta_{10}(0;\tau) &= \frac{2\eta^2(2\tau)}{\eta(\tau)}, \\[3pt] \theta_3(0,q) = \vartheta_{00}(0;\tau) &= \frac{\eta^5(\tau)}{\eta^2\left(\frac{1}{2}\tau\right)\eta^2(2\tau)} = \frac{\eta^2\left(\frac{1}{2}(\tau+1)\right)}{\eta(\tau+1)}, \\[3pt] \theta_4(0,q) = \vartheta_{01}(0;\tau) &= \frac{\eta^2\left(\frac{1}{2}\tau\right)}{\eta(\tau)}, \end{align} }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \theta_2(0,q)\,\theta_3(0,q)\,\theta_4(0,q) = 2\eta^3(\tau). }[/math]

См. также статью о модулярных функциях Вебера.

Эллиптический модуль

J-инвариант равен

[math]\displaystyle{ k(\tau) = \frac{\vartheta_{10}(0,\tau)^2 }{\vartheta_{00}(0,\tau)^2} }[/math],

а дополнительный эллиптический модуль равен

[math]\displaystyle{ k'(\tau) = \frac{\vartheta_{01}(0,\tau)^2 }{\vartheta_{00}(0,\tau)^2} }[/math]

Решение теплового уравнения

Тета-функция Якоби является фундаментальным решением одномерного уравнения теплопроводности с пространственными периодическими граничными условиями. Принимая [math]\displaystyle{ z = x }[/math] вещественным, а [math]\displaystyle{ \tau = it }[/math] с вещественным и положительным t, мы можем записать

[math]\displaystyle{ \vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp\left(-\pi n^2 t\right) \cos(2\pi nx) }[/math],

что решает уравнение теплопроводности

[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it). }[/math]

Это решение в виде тета-функции является 1-периодическим по x, и при [math]\displaystyle{ t \to 0 }[/math] оно стремится к периодической дельта-функции или гребню Дирака в смысле распределений

[math]\displaystyle{ \lim_{t\rightarrow 0} \vartheta(x,it)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-n) }[/math].

Общие решения для задачи с пространственными периодическими начальными значениями для уравнения теплопроводности могут быть получены путём свёртки начальных данных в [math]\displaystyle{ t = 0 }[/math] с тета-функцией.

Связь с группой Гейзенберга

Тета-функция Якоби является инвариантом при действии дискретной подгруппы группы Гейзенберга. Эта инвариантность представлена в статье о тета-представлении группы Гейзенберга.

Обобщения

Если F является квадратичной формой от n переменных, то тета-функция, связанная с F, равна

[math]\displaystyle{ \theta_F (z)= \sum_{m\in \mathbb{Z}^n} e^{2\pi izF(m)} }[/math]

с суммой по решётке целых чисел ℤⁿ. Эта тета-функция является модулярной формой с весом [math]\displaystyle{ \tfrac{n}{2} }[/math] (на надлежащим образом определённой подгруппе) модулярной группы. В разложении в ряд Фурье

[math]\displaystyle{ \hat{\theta}_F (z) = \sum_{k=0}^\infty R_F(k) e^{2\pi ikz}, }[/math]

числа [math]\displaystyle{ R_F(k) }[/math] называются числами представления формы.

Тета-функция Рамануджана

Основные статьи: Тета-функция Рамануджана и Фальшивая тета-функция

Риманова тета-функция

Пусть

[math]\displaystyle{ \mathbb{H}_n=\left\{F\in M(n,\mathbb{C}) \,\big|\, F=F^\mathsf{T} \,,\, \operatorname{Im} F \gt 0 \right\} }[/math]

является множеством симметричных квадратных матриц, мнимая часть которых положительно определена. ℍ_n называется верхним полупространством Зигеля и является многомерным аналогом верхней полуплоскости. n-Мерным аналогом модулярной группы является симплектическая группа Sp(2n,ℤ). Для [math]\displaystyle{ n = 1~~~\mathrm{Sp}(2, \mathbb{Z}) = \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}) }[/math]. Роль n-мерного аналога конгруэнтных подгрупп играет

[math]\displaystyle{ \ker \big\{\operatorname{Sp}(2n,\mathbb{Z})\rightarrow \operatorname{Sp}(2n,\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}) \big\}. }[/math]

Тогда, если дано [math]\displaystyle{ \tau \in \mathbb{H}_n }[/math], тета-функция Римана определяется как

[math]\displaystyle{ \theta (z,\tau)=\sum_{m\in \mathbb{Z}^n} \exp\bigg(2\pi i \left(\tfrac12 m^\mathsf{T} \tau m +m^\mathsf{T} z \right)\bigg). }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{C}_n }[/math] является n-мерным комплексным вектором, а верхний индекс T означает транспонирование. Тета-функция Якоби является тогда частным случаем с [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \tau \in \mathbb{H} }[/math], где [math]\displaystyle{ \mathbb{H} }[/math] является верхней полуплоскостью.

Тета-функция Римана сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^n \times \mathbb{H}_n }[/math].

Функциональное уравнение функции

[math]\displaystyle{ \theta (z+a+\tau b, \tau) = \exp 2\pi i \left(-b^\mathsf{T}z-\tfrac12 b^\mathsf{T}\tau b\right) \theta (z,\tau) }[/math]

которое выполняется для всех векторов [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z}^n }[/math] и для всех [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{C}^n }[/math]}} и [math]\displaystyle{ \tau \in \mathbb{H}_n }[/math].

Ряд Пуанкаре

Ряд Пуанкаре обобщает тета-ряд на автоморфные формы применительно к произвольным фуксовым группам.

Литература для дальнейшего чтения

• Тета-функции, Якоби эллиптические функции // Математическая энциклопедия / Виноградов И. В.. — Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5. — (Энциклопедии, словари, справочники).
• Прасолов В. В., Соловьёв Ю. П. Алгебраические уравнения и тета-функции. — М.: МК НМУ, 1994.

• Hershel M. Farkas. Theta functions in complex analysis and number theory // Surveys in Number Theory / Krishnaswami Alladi. — Springer-Verlag, 2008. — Т. 17. — С. 57–87. — (Developments in Mathematics). — ISBN 978-0-387-78509-7.
• Bruno Schoeneberg. IX. Theta series // Elliptic modular functions. — Springer-Verlag, 1974. — Т. 203. — С. 203–226. — (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 3-540-06382-X.
• Тюрин А. Н. Квантование, классическая и квантовая теория поля и тета-функции. — М., 2003.

Ссылки

• Moiseev Igor. Elliptic functions for Matlab and Octave (неопр.).