Невырожденная матрица

Невырожденная матрица (иначе неособенная матрица) (англ. invertible, или nonsingular, или nondegenerate, или regular matrix) ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной. Термин "несинуглярный", в значении "не единственный", "не уникальный" применяется для обозначения таких матриц потому, что графики соответствующей матрице системы линейных алгебраических уравнений имеют множество значимых для решения системы уравнений расположений друг относительно друга, то есть могут пересекаться в различных точках, каждая из которых является решением системы уравнений. В тоже время, сингулярная матрица соответствует либо несовместной системе уравнений, либо системе уравнений имеющей бесконечное множество решений. И в том и в другом случае сингулярной матрицы, система линейных уравнений имеет только единственное значимое для решения системы линейных уравнений расположение графиков друг односительно друга: паралельное расположение друг относительно друга (как расположены паралельные графики не влияет на решение системы уравнений) - если решений нет; совпадение - если решений бесконеное множество.

Система линейных уравнений невырожденной матрицы имеет строго одно решение.

Для квадратной матрицы [math]\displaystyle{ M }[/math] с элементами из некоторого поля [math]\displaystyle{ K }[/math] невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:

• [math]\displaystyle{ M }[/math] обратима, то есть существует обратная матрица;
• строки (столбцы) матрицы [math]\displaystyle{ M }[/math] линейно независимы;
• ранг матрицы [math]\displaystyle{ M }[/math] равен её размерности.

Совокупность всех невырожденных матриц порядка [math]\displaystyle{ n }[/math] образует группу, которая называется полная линейная группа. Роль групповой операции в ней играет обычное умножение матриц. Полная линейная группа обычно обозначается как [math]\displaystyle{ GL(n) }[/math]. Если требуется явно указать, какому полю [math]\displaystyle{ K }[/math] должны принадлежать элементы матрицы, то пишут [math]\displaystyle{ GL(n,K) }[/math]. Так, если элементами являются действительные числа, полная линейная группа порядка [math]\displaystyle{ n }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ GL(n,\mathbb{R}) }[/math], а если комплексные числа, то [math]\displaystyle{ GL(n,\mathbb{C}) }[/math].

Матрица порядка [math]\displaystyle{ n }[/math] заведомо невырождена, если это:

• диагональная матрица с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу [math]\displaystyle{ D(n,K) }[/math]);
• верхняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу [math]\displaystyle{ T(n,K) }[/math]);
• нижняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами;
• унитреугольная матрица (т.е. верхние треугольные матрицы у которых диагональные элементы равны 1; такие матрицы образуют группу [math]\displaystyle{ UT(n,K) }[/math]).
• матрица [math]\displaystyle{ M }[/math] является результатом взятия матричной экспоненты от матрицы [math]\displaystyle{ A \in M_{n}(\C) }[/math], то есть [math]\displaystyle{ M = e^{A} }[/math]

Литература

• Кострикин, А. И. Введение в алгебру (рус.). — М.: Наука, 1977. — 496 с.
• Кострикин, А. И., Манин, Ю. И. Линейная алгебра и геометрия (рус.). — М.: Наука, 1986. — 304 с.
• Рохлин, В. А., Фукс, Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы (рус.). — М.: Наука, 1977.
• Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц (рус.). — 2-е изд., доп.. — М.: Наука, 1966. — 576 с.