Полуторалинейная форма

Полуторалинейная форма — обобщение понятия билинейной формы. Как правило под полуторалинейной формой подразумевают функцию f(x, y) от двух векторов векторного пространства [math]\displaystyle{ V }[/math] над полем [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] со значениями в этом поле, если она линейная как функция [math]\displaystyle{ x }[/math] при каждом фиксированном [math]\displaystyle{ y }[/math] и полулинейная как функция [math]\displaystyle{ y }[/math] при каждом фиксированном [math]\displaystyle{ x }[/math]. Требование полулинейности по [math]\displaystyle{ y }[/math] означает, что выполнены следующие условия:

• [math]\displaystyle{ f(x,y_1+y_2)=f(x,y_1)+f(x,y_2) \ \ \forall x,y_i \in V, }[/math]
• [math]\displaystyle{ f(x,\alpha y)=\overline \alpha f(x,y) \ \ \forall x,y \in V, \ \alpha \in \mathbb{C}. }[/math]

Так определённые формы естественным образом возникают в приложениях к физике.

Существует обобщение на случай, когда векторное пространство рассматривается над произвольным полем, тогда комплексное сопряжение заменяется на произвольный фиксированный автоморфизм поля. В проективной геометрии иногда рассматривают ещё большее обобщение, когда вместо векторного пространства используется модуль над произвольным телом [math]\displaystyle{ K }[/math].

Договорённости о порядке аргументов

В приведённом в преамбуле определении выполнена линейность по первому аргументу и полулинейность по второму. Такая договорённость часто используется в математической литературе. Стоит, однако, отметить, что в физической литературе чаще используется полулинейность по первому аргументу, эта договорённость проистекает из введённых Дираком в квантовой механике обозначений бра и кет.

В комплексном векторном пространстве

Отображение [math]\displaystyle{ \varphi : V \times V \to \Complex }[/math] в комплексном векторном пространстве [math]\displaystyle{ V }[/math] называется полуторалинейным, если:

[math]\displaystyle{ \begin{align} &\varphi(x + y, z + w) = \varphi(x, z) + \varphi(x, w) + \varphi(y, z) + \varphi(y, w)\\ &\varphi(a x, b y) = a\overline{b}\,\varphi(x,y)\end{align} }[/math]

для всех [math]\displaystyle{ x, y, z, w \in V }[/math] и всех [math]\displaystyle{ a, b \in \Complex. }[/math] Здесь под [math]\displaystyle{ \overline{b} }[/math] подразумевается число, комплексно сопряжённое к числу [math]\displaystyle{ b. }[/math]

Комплексную полуторалинейную форму можно также рассматривать как комплексное билинейное отображение [math]\displaystyle{ V \times \overline{V} \to \Complex, }[/math] где [math]\displaystyle{ \overline{V} }[/math] — комплексно-сопряжённое векторное пространство к пространству [math]\displaystyle{ V. }[/math]

Для фиксированного [math]\displaystyle{ w \in V }[/math] отображение [math]\displaystyle{ z \mapsto \varphi(z, w) }[/math] является линейным функционалом на [math]\displaystyle{ V }[/math], то есть элементом двойственного пространства [math]\displaystyle{ V^* }[/math]. Аналогично, отображение [math]\displaystyle{ w \mapsto \varphi(z, w) }[/math] при фиксированном [math]\displaystyle{ z }[/math] является антилинейным функционалом на [math]\displaystyle{ V. }[/math]

Для любой комплексной полуторалинейной формы [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] можно рассмотреть вторую форму [math]\displaystyle{ \psi }[/math] по формуле: [math]\displaystyle{ \psi(w,z) = \overline{\varphi(z,w)}. }[/math] В общем случае [math]\displaystyle{ \psi }[/math] и [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] будут различны, а их матрицы эрмитово-сопряжены. Если формы совпадают, говорят, что [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] эрмитова. Аналогично, если они противоположны друг другу, то говорят, что [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] косоэрмитова.

Матричное представление

Пусть [math]\displaystyle{ V }[/math] — конечномерное комплексное векторное пространство, тогда для любого базиса [math]\displaystyle{ \left\{ e_i \right\}_i }[/math] полуторалинейную форму [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] можно представить при помощи матрицы [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] по следующей формуле: [math]\displaystyle{ \varphi(w,z) = \varphi \left(\sum_i w_i e_i, \sum_j z_j e_j \right) = \sum_i \sum_j w_i \overline{z_j} \varphi\left(e_i, e_j\right) = w^\mathrm{T} \Phi \overline{z}. }[/math] Элементы матрицы [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] определяются из условия [math]\displaystyle{ \Phi_{ij} := \varphi\left(e_i, e_j\right). }[/math]

Эрмитовы формы

Эрмитова форма (также полуторалинейная симметрическая форма) — это полуторалинейная форма [math]\displaystyle{ h : V \times V \to \Complex }[/math] на комплексном пространстве [math]\displaystyle{ V }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ h(w,z) = \overline{h(z, w)}. }[/math]

В случае положительной определённости такой формы (определяемой аналогично билинейному случаю) говорят об эрмитовом скалярном произведении. Стандартное эрмитово произведение задаётся формулой [math]\displaystyle{ \langle w,z \rangle = \sum_{i=1}^n w_i \overline{z}_i. }[/math]

Пару из векторного пространства и определённой на нём эрмитовой формы [math]\displaystyle{ (V, h) }[/math] называют эрмитовым пространством, а в положительно определённом случае — комплексным гильбертовым пространством. При записи эрмитовой формы в произвольном базисе получается эрмитова матрица.

При применении эрмитовой формы к одному и тому же вектору [math]\displaystyle{ |z|_h = h(z, z) }[/math] всегда получается вещественное число. Можно показать, что комплексная полуторалинейная форма эрмитова тогда и только тогда, когда соответствующая квадратичная форма вещественна для всех [math]\displaystyle{ z \in V. }[/math]

Косоэрмитовы формы

Косоэрмитова форма — это полуторалинейная форма [math]\displaystyle{ s : V \times V \to \Complex }[/math] на комплексном пространстве [math]\displaystyle{ V }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ s(w,z) = -\overline{s(z, w)}. }[/math] Каждую косоэрмитову форму можно представить как эрмитову, умноженную на [math]\displaystyle{ i }[/math].

При записи косоэрмитовой формы в произвольном базисе получается косоэрмитова (антиэрмитова) матрица.

При применении косоэрмитовой формы к одному и тому же вектору [math]\displaystyle{ |z|_s = s(z, z) }[/math] всегда получается чисто мнимое число.

Над кольцом с делением

Понятие полуторалинейной формы допускает обобщение на произвольное кольцо с делением. В коммутативном случае это область целостности, в некоммутативном чаще всего используется частный случай, когда кольцо является телом. В коммутативном случае в дальнейшем тексте все антиавтоморфизмы можно считать просто автоморфизмами, так как эти понятия совпадают для коммутативных колец.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ K }[/math] — кольцо с делением, а [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] — фиксированный антиавтоморфизм этого кольца. Тогда [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]-полуторалинейная форма на левом [math]\displaystyle{ K }[/math]-модуле [math]\displaystyle{ M }[/math] — это билинейное отображение [math]\displaystyle{ \varphi \colon M\times M \to K }[/math] такое, что для любых [math]\displaystyle{ x, y }[/math] из модуля [math]\displaystyle{ M }[/math] и любых скаляров [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math] из [math]\displaystyle{ K }[/math] выполнено:

[math]\displaystyle{ \varphi(x \alpha, y \beta) = \alpha \, \varphi(x, y) \, \sigma(\beta) . }[/math]

Ортогональное дополнение

Для данной полуторалинейной формы [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] на модуле [math]\displaystyle{ M }[/math] и подмодуля [math]\displaystyle{ W }[/math] модуля [math]\displaystyle{ M }[/math] ортогональным дополнением [math]\displaystyle{ W }[/math] называется

[math]\displaystyle{ W^{\perp}=\{\mathbf{v} \in M \mid \varphi (\mathbf{v}, \mathbf{w})=0,\ \forall \mathbf{w}\in W\} . }[/math]

Аналогично, говорят, что элемент [math]\displaystyle{ x \in M }[/math] ортогонален элементу [math]\displaystyle{ y \in M }[/math] по отношению к форме [math]\displaystyle{ \varphi }[/math], если [math]\displaystyle{ \varphi(x,y)=0 }[/math]. Это обозначают как [math]\displaystyle{ x \perp_{\varphi} y }[/math], или просто [math]\displaystyle{ x \perp y }[/math], если форма ясна из контекста. Это отношение не обязательно симметрично, то есть из [math]\displaystyle{ x \perp y }[/math] не следует [math]\displaystyle{ y \perp x }[/math]. Если для всех [math]\displaystyle{ x,y }[/math] из [math]\displaystyle{ x \perp y }[/math] следует [math]\displaystyle{ y \perp x }[/math], то форму называют рефлексивной.

Пример

Пусть [math]\displaystyle{ V }[/math] — трёхмерное векторное пространство над конечным полем [math]\displaystyle{ F = \operatorname{GF}(q^2) }[/math], где [math]\displaystyle{ q }[/math] — степень простого числа. Пусть два вектора [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] заданы координатами в стандартном базисе [math]\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3) }[/math] и [math]\displaystyle{ y_1, y_2, y_3 }[/math]. Тогда можно определить отображение [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] формулой:

[math]\displaystyle{ \varphi(x, y) = x_1 y_1{}^q + x_2 y_2{}^q + x_3 y_3{}^q. }[/math]

Отображение [math]\displaystyle{ \sigma: t \mapsto t^q }[/math] — автоморфизм [math]\displaystyle{ F }[/math], являющийся инволюцией. Отображение [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] является [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]-полуторалинейной формой. Эта форма эрмитова, а матрица [math]\displaystyle{ M_\varphi }[/math], соответствующая этой форме в стандартном базисе — это просто единичная матрица.

См. также

• Билинейная форма
• Линейная форма
• Эрмитова форма
• *-алгебра

Литература

• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8, <https://archive.org/details/finitegeometries0000demb> 
• Gruenberg, K.W. & Weir, A.J. (1977), Linear Geometry (2nd ed.), Springer, ISBN 0-387-90227-9 
• Jacobson, Nathan J. (2009), Basic Algebra I (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 

Внешние ресурсы

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Sesquilinear form, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4