Перейти к содержанию

Индуктивный предел

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Прямой предел»)

Индуктивный предел (или прямой предел, копредел) — конструкция, возникшая первоначально в теории множеств и топологии, а затем нашедшая широкое применение во многих разделах математики. Двойственное понятие — проективный (или обратный) предел.

Эта конструкция позволяет построить новый объект [math]\displaystyle{ X }[/math] по последовательности (индексированной направленным множеством) однотипных объектов [math]\displaystyle{ X_i }[/math] и набору отображений [math]\displaystyle{ f_{ij}:X_i\to X_j }[/math], [math]\displaystyle{ i\leqslant j }[/math]. Для индуктивного предела обычно используется обозначение

[math]\displaystyle{ X=\varinjlim X_i }[/math].

Мы дадим определение для алгебраических структур, а затем — для объектов произвольной категории.

Определение

Алгебраические объекты

В этом разделе будет дано определение, подходящее для множеств с добавленной структурой, таких как группы, кольца, модули над фиксированным кольцом и т. д.

Пусть [math]\displaystyle{ I }[/math] — направленное множество с отношением предпорядка [math]\displaystyle{ \leqslant }[/math] и пусть каждому элементу [math]\displaystyle{ i\in I }[/math] сопоставлен алгебраический объект [math]\displaystyle{ X_i }[/math], а каждой паре [math]\displaystyle{ (i,\;j) }[/math], [math]\displaystyle{ i,\;j\in I }[/math], в которой [math]\displaystyle{ i\leqslant j }[/math], сопоставлен гомоморфизм [math]\displaystyle{ f_{ij}:X_i\to X_j }[/math], причём [math]\displaystyle{ f_{ii} }[/math] — тождественные отображения для любого [math]\displaystyle{ i\in I }[/math] и [math]\displaystyle{ f_{ik}= f_{jk}\circ f_{ij} }[/math] для любых [math]\displaystyle{ i\leqslant j\leqslant k }[/math] из [math]\displaystyle{ I }[/math]. Такую систему объектов и гомоморфизмов называют также направленной системой.

Тогда множество-носитель прямого предела направленной системы [math]\displaystyle{ (X_i, f_{ij}) }[/math] — это фактормножество дизъюнктного объединения множеств-носителей [math]\displaystyle{ X_i }[/math] по отношению эквивалентности:

[math]\displaystyle{ \varinjlim X_i = \bigsqcup_i X_i\bigg/\sim. }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ x_i\in X_i }[/math] и [math]\displaystyle{ x_j\in X_j }[/math] эквивалентны, если существует такое [math]\displaystyle{ k\in I }[/math], что [math]\displaystyle{ f_{ik}(x_i) = f_{jk}(x_j) }[/math]. Интуитивно, два элемента дизъюнктного объединения эквивалентны, тогда и только тогда, когда они «рано или поздно станут эквивалентными» в направленной системе. Более простая формулировка — это транзитивное замыкание отношения эквивалентности «каждый элемент эквивалентен своим образам», то есть [math]\displaystyle{ x_i\sim\, f_{ik}(x_i) }[/math].

Из этого определения легко получить канонические морфизмы [math]\displaystyle{ \phi_i: X_i\rightarrow X }[/math], отправляющие каждый элемент в его класс эквивалентности. Добавленную алгебраическую структуру на [math]\displaystyle{ X }[/math] можно получить, исходя из знания этих гомоморфизмов.

Определение для произвольной категории

В произвольной категории прямой предел можно определить с помощью его универсального свойства. А именно, прямой предел направленной системы [math]\displaystyle{ (X_i, f_{ij}) }[/math] — это объект [math]\displaystyle{ X }[/math] категории, такой что выполняются следующие условия:

  1. существует такое семейство отображений [math]\displaystyle{ \phi_i:X_i\to X }[/math], что [math]\displaystyle{ \phi_i=\phi_j\circ f_{ij} }[/math] для любых [math]\displaystyle{ i\leqslant j }[/math];
  2. для любого семейства отображений [math]\displaystyle{ \psi_i:X_i\to Y }[/math], в произвольное множества [math]\displaystyle{ Y }[/math], для которого выполнены равенства [math]\displaystyle{ \psi_i=\psi_j\circ f_{ij} }[/math] для любых [math]\displaystyle{ i\leqslant j }[/math], существует единственное отображение [math]\displaystyle{ u:X\to Y }[/math], что [math]\displaystyle{ \psi_i=u\circ \phi_i }[/math], для всех [math]\displaystyle{ i\in I }[/math].

Более общо, прямой предел направленной системы — это то же самое, что её копредел в категорном смысле.

Примеры

  • На произвольном семействе подмножеств данного множества можно задать структуру предпорядка по включению. Если этот предпорядок действительно является направленным, то прямой предел семейства — это обычное объединение множеств.
  • Пусть p — простое число. Рассмотрим направленную систему из групп Z/pnZ и гомоморфизмов Z/pnZZ/pn+1Z, индуцированных умножением на p. Прямой предел этой системы содержит все корни из единицы, порядок которых — некоторая степень p. Их группа по умножению называется группой Прюфера Z(p).
  • Пусть F — пучок на топологическом пространстве X со значениями в C. Зафиксируем точку x в X. Открытые окрестности x образуют направленную систему по включению (UV если U содержит V). Функтор пучка сопоставляет ей направленную систему (F(U), rU,V), где r — отображения ограничения. Прямой предел этой системы называется слоем F над x и обозначается Fx.
  • Прямые пределы в категории топологических пространств получаются присвоением финальной топологии[англ.] соответствующему множеству-носителю.

Литература

  • С. Маклейн. Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
  • Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I, Springer, ISBN 978-3-540-64243-5, OCLC 40551484 
  • Bourbaki, Nicolas (1989), General topology: Chapters 1-4, Springer, ISBN 978-3-540-64241-1, OCLC 40551485