Сюръекция

Сюръективная функция.

Сюръе́кция или сюръекти́вное отображе́ние (от фр. sur «на, над» + лат. jacio «бросаю») — отображение множества [math]\displaystyle{ X }[/math] на множество [math]\displaystyle{ Y }[/math] [math]\displaystyle{ (f\colon X\to Y) }[/math], при котором каждый элемент множества [math]\displaystyle{ Y }[/math] является образом хотя бы одного элемента множества [math]\displaystyle{ X }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \forall y\in Y\;\exists x\in X:y=f(x) }[/math]; иными словами — функция, принимающая все возможные значения. Иногда говорят, что сюръективное отображение [math]\displaystyle{ f\colon X \to Y }[/math] отображает [math]\displaystyle{ X }[/math] на [math]\displaystyle{ Y }[/math] (инъективное отображение в общем случае отображает [math]\displaystyle{ X }[/math] в [math]\displaystyle{ Y }[/math]).

Отображение [math]\displaystyle{ f\colon X\to Y }[/math] сюръективно тогда и только тогда, когда образ множества [math]\displaystyle{ X }[/math] при отображении [math]\displaystyle{ f }[/math] совпадает с [math]\displaystyle{ Y }[/math]: [math]\displaystyle{ f(X) = Y }[/math]. Также сюръективность функции [math]\displaystyle{ f }[/math] эквивалентна существованию правого обратного отображения к [math]\displaystyle{ f }[/math].

Строго говоря, понятие сюръекции [math]\displaystyle{ f\colon X\to Y }[/math] привязано к множеству [math]\displaystyle{ Y }[/math]: корректно говорить вместо обычно допускаемой вольности речи «сюръекция» точное «сюръекция на [math]\displaystyle{ Y }[/math]». Фактически понятно, что каждое отображение является сюръекцией на свой образ: если [math]\displaystyle{ Z=\{y:f(x)=y\} }[/math], то [math]\displaystyle{ f\colon X\to Y }[/math] — сюръекция на [math]\displaystyle{ Z }[/math], поскольку формально также [math]\displaystyle{ f\colon X\to Z }[/math] по определению отображения.

Понятие сюръекции (наряду с инъекцией и биекцией) введено в обиход в трудах Бурбаки и получило всеобщее распространение практически во всех разделах математики.

Примеры

• [math]\displaystyle{ f\colon \R\to[-1;\;1],\;f(x)=\sin x }[/math] — сюръективно.
• [math]\displaystyle{ f\colon \R\to\R_+,\;f(x)=x^2 }[/math] — сюръективно.
• [math]\displaystyle{ f\colon \R\to\R,\;f(x)=x^2 }[/math] — не является сюръективным (например, не существует такого [math]\displaystyle{ x\in\R }[/math], что [math]\displaystyle{ f(x)=-9 }[/math]).

Применение

• В топологии важное понятие расслоения определяется как произвольное непрерывное сюръективное отображение топологических пространств (расслоённого пространства в базу расслоения).
• Организация связи «многие к одному» между таблицами в сущностях реляционной модели данных может быть рассмотрена как сюръективная функция.

Обобщения

• В теории категории понятие сюръекции обобщено в понятии эпиморфизма, притом в некоторых категориях эти понятия совпадают.

Литература

• Н. К. Верещагин, А.Шень. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. (недоступная ссылка)
• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с.