Параметризованный постньютоновский формализм

Параметризо́ванный постнью́тоновский формали́зм (ППН формали́зм) — версия постньютоновского формализма, применимая не только к общей теории относительности, но и к другим метрическим теориям гравитации, когда движения тел удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна. В таком подходе явно выписываются все возможные зависимости гравитационного поля от распределения материи вплоть до соответствующего порядка обратного квадрата скорости света [math]\displaystyle{ c^{-2} }[/math] (точнее, скорости гравитации, при этом обычно ограничиваются первым порядком) и составляется наиболее общее выражение для решения уравнений гравитационного поля и движения материи. Различные теории гравитации при этом предсказывают различные значения коэффициентов — так называемых ППН параметров — в общих выражениях. Это приводит к потенциально наблюдаемым эффектам, экспериментальные ограничения на величину которых приводят к ограничениям на ППН параметры, и соответственно — к ограничениям на теории гравитации, их предсказывающие. Можно сказать, что ППН параметры описывают различия между ньютоновой и описываемой теорией гравитации. ППН формализм применим когда гравитационные поля слабы, а скорости движения формирующих их тел малы по сравнению со скоростью света (точнее, скоростью гравитации) — каноническими примерами применения являются движение Солнечной системы и систем двойных пульсаров.

История

Первая параметризация постньютоновского приближения принадлежит перу Эддингтона (Eddington, 1922). В ней рассматривалось, впрочем, только гравитационное поле в вакууме вокруг сферически-симметричного статического тела. Нордтведт (Nordtvedt, 1968, 1969) расширил формализм до 7 параметров, а Уилл (Will, 1971) ввёл в него описание небесных тел как протяжённых распределений тензора энергии-импульса.

Версии формализма, применяющиеся чаще всего и описанные ниже, базируются на работах Ни (Ni, 1972), Уилла и Нордтведта (Will & Nordtvedt, 1972), Мизнера, Торна и Уилера Гравитация, и Уилла, и имеют 10 параметров.

Бета-дельта вариант (Beta-delta notation)

Десять постньютоновских параметров (ППН параметров) полностью характеризуют поведение подавляющего большинства метрических теорий гравитации в пределе слабого поля. ППН формализм показал себя ценным инструментом для проверки общей теории относительности. В обозначениях Уилла (Will, 1971), Ни (Ni, 1972) и Мизнера, Торна и Уилера (Misner et al., 1973) ППН параметры имеют условно следующее значение:

[math]\displaystyle{ \gamma }[/math]	Насколько сильная пространственная кривизна в [math]\displaystyle{ g_{ij} }[/math] генерируется единицей массы покоя?
[math]\displaystyle{ \beta }[/math]	Насколько велика нелинейность в [math]\displaystyle{ g_{00} }[/math] при сложении гравитационных полей?
[math]\displaystyle{ \beta_1 }[/math]	Как много тяготения в [math]\displaystyle{ g_{00} }[/math] производится единицей кинетической энергии [math]\displaystyle{ \textstyle\frac12\rho_0v^2 }[/math]?
[math]\displaystyle{ \beta_2 }[/math]	Как много тяготения в [math]\displaystyle{ g_{00} }[/math] производится единицей гравитационной потенциальной энергии [math]\displaystyle{ \rho_0/U }[/math]?
[math]\displaystyle{ \beta_3 }[/math]	Как много тяготения в [math]\displaystyle{ g_{00} }[/math] производится единицей внутренней энергии тела [math]\displaystyle{ \rho_0\Pi }[/math]?
[math]\displaystyle{ \beta_4 }[/math]	Как много тяготения в [math]\displaystyle{ g_{00} }[/math] производится единицей давления [math]\displaystyle{ p }[/math]?
[math]\displaystyle{ \zeta }[/math]	Разница между проявлением радиальной и трансверсальной кинетической энергией в тяготении в [math]\displaystyle{ g_{00} }[/math]
[math]\displaystyle{ \eta }[/math]	Разница между проявлением радиальных и трансверсальных напряжений в тяготении в [math]\displaystyle{ g_{00} }[/math]
[math]\displaystyle{ \Delta_1 }[/math]	Как много увлечения инерциальных систем отсчёта в [math]\displaystyle{ g_{0j} }[/math] производится единицей импульса [math]\displaystyle{ \rho_0v }[/math]?
[math]\displaystyle{ \Delta_2 }[/math]	Разница между степенью увлечения инерциальных систем отсчёта в радиальном и трансверсальном направлении

[math]\displaystyle{ g_{\mu\nu} }[/math] — симметричный метрический тензор 4 на 4, а пространственные индексы [math]\displaystyle{ i }[/math] и [math]\displaystyle{ j }[/math] пробегают значения от 1 до 3.

В теории Эйнштейна эти параметры соответствуют тому, что (1) для малых скоростей движения тел и их масс восстанавливается ньютоново тяготение, (2) выполняются законы сохранения энергии, массы, импульса и момента импульса, и (3) уравнения теории не зависят от системы отсчёта. В таких обозначениях общая теория относительности имеет ППН параметры

[math]\displaystyle{ \gamma=\beta=\beta_1=\beta_2=\beta_3=\beta_4=\Delta_1=\Delta_2=1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \zeta=\eta=0 }[/math].

Альфа-дзета вариант (Alpha-zeta notation)

В более современной версии (Will & Nordtvedt, 1972), используемой также в работах Уилла (1981, 2014), применяется другой эквивалентный набор из 10 ППН параметров.

[math]\displaystyle{ \gamma=\gamma }[/math],

[math]\displaystyle{ \beta=\beta }[/math],

[math]\displaystyle{ \alpha_1=7\Delta_1+\Delta_2-4\gamma-4 }[/math],

[math]\displaystyle{ \alpha_2=\Delta_2+\zeta-1 }[/math],

[math]\displaystyle{ \alpha_3=4\beta_1-2\gamma-2-\zeta }[/math],

[math]\displaystyle{ \zeta_1=\zeta }[/math],

[math]\displaystyle{ \zeta_2=2\beta+2\beta_2-3\gamma-1 }[/math],

[math]\displaystyle{ \zeta_3=\beta_3-1 }[/math],

[math]\displaystyle{ \zeta_4=\beta_4-\gamma }[/math],

[math]\displaystyle{ \xi }[/math] получается из [math]\displaystyle{ 3\eta=12\beta-3\gamma-9+10\xi-3\alpha_1+2\alpha_2-2\zeta_1-\zeta_2 }[/math].

Смысл параметров [math]\displaystyle{ \alpha_1 }[/math], [math]\displaystyle{ \alpha_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ \alpha_3 }[/math] при этом — степень проявления эффектов предпочтительной системы отсчёта (эфира). [math]\displaystyle{ \zeta_1 }[/math], [math]\displaystyle{ \zeta_2 }[/math], [math]\displaystyle{ \zeta_3 }[/math], [math]\displaystyle{ \zeta_4 }[/math] и [math]\displaystyle{ \alpha_3 }[/math] измеряют степень нарушения законов сохранения энергии, импульса и момента импульса.

В этих обозначениях ППН параметры ОТО есть

[math]\displaystyle{ \gamma=\beta=1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\zeta_1=\zeta_2=\zeta_3=\zeta_4=\xi=0 }[/math].

Вид метрики альфа-дзета варианта:

[math]\displaystyle{ \begin{matrix}g_{00} = -1+2U-2\beta U^2-2\xi\Phi_W+(2\gamma+2+\alpha_3+\zeta_1-2\xi)\Phi_1 +2(3\gamma-2\beta+1+\zeta_2+\xi)\Phi_2 \\ \ +2(1+\zeta_3)\Phi_3+2(3\gamma+3\zeta_4-2\xi)\Phi_4-(\zeta_1-2\xi)A-(\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3)w^2U \\ \ -\alpha_2w^iw^jU_{ij}+(2\alpha_3-\alpha_1)w^iV_i+O(\varepsilon^3) \end{matrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ g_{0i}=-\textstyle\frac12(4\gamma+3+\alpha_1-\alpha_2+\zeta_1-2\eta)V_i-\textstyle\frac12(1+\alpha_2-\zeta_1+2\xi)W_i -\textstyle\frac12(\alpha_1-2\alpha_2)w^iU-\alpha_2w^jU_{ij}+O(\varepsilon^{\frac52})\;, }[/math]

[math]\displaystyle{ g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta_{ij}+O(\varepsilon^2)\; }[/math],

где по повторяющимся индексам предполагается суммирование, [math]\displaystyle{ \varepsilon^2 }[/math] определяется как максимальное в системе значение ньютонова потенциала [math]\displaystyle{ U }[/math], квадрата скорости материи или подобных величин (они все имеют один порядок величины), [math]\displaystyle{ w^i }[/math] — скорость ППН координатной системы относительно выделенной системы покоя, [math]\displaystyle{ w^2=w^iw^j\delta_{ij} }[/math] — квадрат этой скорости, а [math]\displaystyle{ \delta_{ij}=1 }[/math] если [math]\displaystyle{ i=j }[/math] и [math]\displaystyle{ 0 }[/math] в противоположном случае — символ Кронекера.

Есть только десять простых метрических потенциалов: [math]\displaystyle{ U }[/math], [math]\displaystyle{ U_{ij} }[/math], [math]\displaystyle{ \Phi_W }[/math], [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ \Phi_1 }[/math], [math]\displaystyle{ \Phi_2 }[/math], [math]\displaystyle{ \Phi_3 }[/math], [math]\displaystyle{ \Phi_4 }[/math], [math]\displaystyle{ V_i }[/math] и [math]\displaystyle{ W_i }[/math], столько же, как и ППН параметров, что гарантирует единственность ППН решения для каждой теории гравитации. Форма этих потенциалов напоминает гравитационный потенциал ньютоновской теории — они равны определённым интегралам по распределению материи, например,

[math]\displaystyle{ U(\mathbf{x},t)=\int{\rho_0\over|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}d^3x'. }[/math]

Полный список определений метрических потенциалов см. в работах Мизнера, Торна, Уилера (Misner et al., 1973), Уилла (1981, 2014) и др.

Процедура получения ППН параметров из теории гравитации

Примеры анализа можно найти в книге Уилла, 1981. Процесс состоит из девяти стадий:

• Шаг 1: Определение переменных: (a) динамические гравитационные переменные, такие как метрика [math]\displaystyle{ g_{\mu\nu} }[/math], гравитационное скалярное [math]\displaystyle{ \phi }[/math], векторное [math]\displaystyle{ K_\mu }[/math] и/или тензорное поле [math]\displaystyle{ B_{\mu\nu} }[/math] и т. п.; (b) переменные предпочтительной геометрии, такие как плоская фоновая метрика [math]\displaystyle{ \eta_{\mu\nu} }[/math], космологическое время [math]\displaystyle{ t }[/math] и т. п.; (c) переменные материальных (негравитационных) полей.

• Шаг 2: Установление космологических граничных условий: предполагая вселенную Фридмана (однородную и изотропную), вводим изотропные координаты в системе покоя Вселенной (полное космологическое решение для этого нужно не всегда). Полученные фоновые космологические поля называем [math]\displaystyle{ g^{(0)}_{\mu\nu}=\mbox{diag}(-c_0,c_1,c_1,c_1) }[/math], [math]\displaystyle{ \phi_0 }[/math], [math]\displaystyle{ K^{(0)}_\mu }[/math], [math]\displaystyle{ B^{(0)}_{\mu\nu} }[/math].

• Шаг 3: Вводим новые переменные [math]\displaystyle{ h_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}-g^{(0)}_{\mu\nu} }[/math], а если необходимо, то и [math]\displaystyle{ \phi-\phi_0 }[/math], [math]\displaystyle{ K_\mu-K^{(0)}_\mu }[/math], [math]\displaystyle{ B_{\mu\nu}-B^{(0)}_{\mu\nu} }[/math].

• Шаг 4: Подставляем полученные выражения и тензор энергии-импульса материи (обычно идеальной жидкости) в уравнения гравитационного поля и отбрасываем члены слишком высокого порядка для [math]\displaystyle{ h_{\mu\nu} }[/math] и прочих динамических гравитационных переменных.

• Шаг 5: Решаем уравнения для [math]\displaystyle{ h_{00} }[/math] с точностью до [math]\displaystyle{ O(2) }[/math]. Предполагая эту величину стремящейся к нулю вдали от системы, получаем форму [math]\displaystyle{ h_{00}=2\alpha U }[/math], где [math]\displaystyle{ U }[/math] — гравитационный потенциал Ньютона, а [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] может быть сложной функцией, включающей гравитационную «постоянную» [math]\displaystyle{ G }[/math]. Ньютонова метрика имеет форму [math]\displaystyle{ g_{00}=-c_0+2\alpha U }[/math], [math]\displaystyle{ g_{0j}=0 }[/math], [math]\displaystyle{ g_{ij}=\delta_{ij}c_1 }[/math]. Переходим к единицам, в которых гравитационная «постоянная», измеренная сейчас вдали от гравитирующей материи, равна единице [math]\displaystyle{ G_{\mbox{today}} = \alpha/c_0 c_1=1 }[/math].

• Шаг 6: Из линеаризованной версии полевых уравнений получаем [math]\displaystyle{ h_{ij} }[/math] с точностью до [math]\displaystyle{ O(2) }[/math] и [math]\displaystyle{ h_{0j} }[/math] с точностью до [math]\displaystyle{ O(3) }[/math].

• Шаг 7: Находим [math]\displaystyle{ h_{00} }[/math] с точностью до [math]\displaystyle{ O(4) }[/math]. Это самый сложный этап, так как уравнения тут становятся нелинейными. Тензор энергии-импульса также нужно разложить до нужного порядка.

• Шаг 8: Переходим в стандартную ППН калибровку.

• Шаг 9: Сравнивая результирующую метрику [math]\displaystyle{ g_{\mu\nu} }[/math] с известным ППН выражением, определяем ППН параметры теории.

Сравнение теорий гравитации

Основная статья: Альтернативные теории гравитации § ППН параметры для различных теорий

Основной источник: Уилл (1981, 2014)

Таблица, представляющая ППН параметры 23 теорий гравитации, находится в статье «Альтернативные теории гравитации».

Большинство метрических теорий можно разделить по нескольким категориям. Скалярные теории гравитации включают конформно-плоские теории и стратифицированные теории с пространственными сечениями, строго ортогональными временному направлению.

В конформно-плоских теориях, например, теориях Нордстрёма, метрика равна [math]\displaystyle{ \mathbf{g}=f\boldsymbol{\eta} }[/math] и поэтому [math]\displaystyle{ \gamma=-1 }[/math], что абсолютно несовместимо с наблюдениями. В стратифицированных теориях, например, теории Йилмаза, метрика равна [math]\displaystyle{ \mathbf{g}=f_1\mathbf{d}t \otimes \mathbf{d} t +f_2\boldsymbol{\eta} }[/math] и, следовательно, [math]\displaystyle{ \alpha_1=-4(\gamma+1) }[/math], что опять-таки противоречит наблюдениям.

Другой класс теорий — квазилинейные теории типа теории Уайтхэда. Для них [math]\displaystyle{ \xi=\beta }[/math]. Так как относительные амплитуды гармоник земных приливов зависят от [math]\displaystyle{ \xi }[/math] и [math]\displaystyle{ \alpha_2 }[/math], то их измерения позволяют отклонить все подобные теории, исключая такое большое значение [math]\displaystyle{ \xi }[/math].

Ещё один класс теорий — биметрические теории. Для них [math]\displaystyle{ \alpha_2 }[/math] не равно 0. Из данных по прецессии оси вращения миллисекундных пульсаров мы знаем, что [math]\displaystyle{ |\alpha_2| \lt 2\cdot10^{-9} }[/math], и это эффективно отклоняет биметрические теории.

Далее идут скалярно-тензорные теории, например, теория Бранса — Дике. Для таких теорий в первом приближении [math]\displaystyle{ \gamma=\textstyle\frac{1+\omega}{2+\omega} }[/math]. Предел [math]\displaystyle{ \gamma-1\lt 2.3\times10^{-5} }[/math] даёт очень малое [math]\displaystyle{ 1/\omega }[/math], которое характеризует степень «скалярности» гравитационного взаимодействия, а по мере уточнения экспериментальных данных предел на [math]\displaystyle{ \omega }[/math] всё продолжает увеличиваться, так что такие теории становятся всё менее вероятными.

Последний класс теорий — векторно-тензорные теории. Для них гравитационная «постоянная» изменяется со временем и [math]\displaystyle{ \alpha_2 }[/math] не равно 0. Лазерная локация Луны сильно ограничивает вариацию гравитационной «постоянной» и [math]\displaystyle{ |\alpha_2| \lt 2\cdot10^{-9} }[/math], так что эти теории также не выглядят надёжными.

Некоторые метрические теории не попадают в выделенные категории, но имеют подобные проблемы.

Экспериментальные ограничения на ППН параметры

Значения взяты из обзора Уилла, 2014

Параметр	Границы	Эффекты	Эксперимент
[math]\displaystyle{ \gamma-1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2.3\cdot10^{-5} }[/math]	Эффект Шапиро, Гравитационное отклонение света	Траектория «Кассини — Гюйгенса»
[math]\displaystyle{ \beta-1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8\cdot10^{-5} }[/math]	Эффект Нордтведта, Сдвиг перигелия	Лазерная локация Луны, движения планет в Солнечной системе
[math]\displaystyle{ \xi }[/math]	[math]\displaystyle{ 4\cdot10^{-9} }[/math]	Прецессия оси вращения	Миллисекундные пульсары
[math]\displaystyle{ \alpha_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4\cdot10^{-5} }[/math]	Сдвиг плоскости орбиты	Лазерная локация Луны, пульсар J1738+0333
[math]\displaystyle{ \alpha_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2\cdot10^{-9} }[/math]	Прецессия оси вращения	Миллисекундные пульсары
[math]\displaystyle{ \alpha_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4\cdot10^{-20} }[/math]	Самоускорение	Статистика замедления пульсаров
[math]\displaystyle{ \zeta_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0.02 }[/math]	-	Комбинированный предел разных экспериментов
[math]\displaystyle{ \zeta_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4\cdot10^{-5} }[/math]	Ускорение двойных пульсаров	PSR 1913+16
[math]\displaystyle{ \zeta_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10^{-8} }[/math]	Третий закон Ньютона	Ускорение Луны
[math]\displaystyle{ \zeta_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0.006 }[/math]‡	-	Не является независимым

‡ По [math]\displaystyle{ 6\zeta_4=3\alpha_3+2\zeta_1-3\zeta_3 }[/math] из работ Уилла (1976, 2014). Теоретически в некоторых теориях гравитации возможен обход этого ограничения, тогда применим более слабый предел [math]\displaystyle{ |\zeta_4|\lt 0.4 }[/math] из статьи Ни (1972).

Литература

Основная

• Уилл К. Теория и эксперимент в гравитационной физике: Пер. с англ. — М.: Энергоатомиздат, 1985. — 296 с. — Перевод Will, C. M. Theory and Experiment in Gravitational Physics. — Cambridge University Press, 1981, 1993. — ISBN 0-521-43973-6.
• Will C. M. The Confrontation between General Relativity and Experiment (англ.) // Living Reviews in Relativity. — 2014. — Vol. 17, no. 4. — doi:10.12942/lrr-2014-4. — . — arXiv:1403.7377. Архивировано 19 марта 2015 года.

Дополнительная

• Мизнер, Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. В 3-х тт. — М.: Мир, 1977. — Перевод Misner, C. W., Thorne, K. S. & Wheeler, J. A. Gravitation. — W. H. Freeman and Co., 1973.
• Эддингтон А. С. Теория относительности. — Л.-М.: ГТТИ, 1934. — Перевод Eddington, A. S. The Mathematical Theory of Relativity. — Cambridge University Press, 1922.
• Ni W.-T. Theoretical Frameworks for Testing Relativistic Gravity.IV. a Compendium of Metric Theories of Gravity and Their POST Newtonian Limits (англ.) // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1972. — Vol. 176. — P. 769. — doi:10.1086/151677. — .
• Nordtvedt K. Equivalence Principle for Massive Bodies. II. Theory (англ.) // Physical Review. — 1968. — Vol. 169. — P. 1017—1025. — doi:10.1103/PhysRev.169.1017. — .
• Nordtvedt K. Equivalence Principle for Massive Bodies Including Rotational Energy and Radiation Pressure (англ.) // Physical Review. — 1969. — Vol. 180. — P. 1293—1298. — doi:10.1103/PhysRev.180.1293. — .
• Will C. M. Theoretical Frameworks for Testing Relativistic Gravity. II. Parametrized Post-Newtonian Hydrodynamics, and the Nordtvedt Effect (англ.) // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1971. — Vol. 163. — P. 611. — doi:10.1086/150804. — .
• Will C. M. Active mass in relativistic gravity - Theoretical interpretation of the Kreuzer experiment (англ.) // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1976. — Vol. 204. — P. 224—234. — doi:10.1086/154164. — .
• Will C. M., Nordtvedt Jr., K. Conservation Laws and Preferred Frames in Relativistic Gravity. I. Preferred-Frame Theories and an Extended PPN Formalism (англ.) // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1972. — Vol. 177. — P. 757. — doi:10.1086/151754. — .

См. также

• Линеаризованная гравитация
• Проверка общей теории относительности
• Параметры Пескина — Такэути — аналог ППН формализма в электрослабой теории