Биметрические теории гравитации

Двумерные модели расширяют общую теорию относительности, чтобы точно объяснить природу тёмной материи и тёмной энергии

Биметрические теория гравитации — альтернативные теории гравитации, в которых вместо одного метрического тензора используются два или более. Часто вторая метрика вводится только при высоких энергиях, в предположении, что скорость света может зависеть от энергии. Наиболее известными примерами биметрических теорий являются теория Розена и релятивистская теория гравитации (последняя — в канонической трактовке).

Биметрическая теория Розена

В общей теории относительности предполагается, что расстояние между двумя точками в пространстве-времени определяется метрическим тензором. Уравнения Эйнштейна используются затем для расчёта формы метрики на основании распределения энергии.

Натан Розен (1940) предложил в каждой точке пространства-времени ввести в дополнение к риманову метрическому тензору [math]\displaystyle{ g_{ij} }[/math] евклидов метрический тензор [math]\displaystyle{ \gamma_{ij} }[/math] . Таким образом, в каждой точке пространства-времени мы получаем две метрики:

[math]\displaystyle{ ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j} }[/math]

[math]\displaystyle{ d\sigma^{2}=\gamma_{ij} dx^{i} dx^{j} }[/math]

Первый метрический тензор [math]\displaystyle{ g_{ij} }[/math] описывает геометрию пространства-времени и, таким образом, гравитационное поле. Второй метрический тензор [math]\displaystyle{ \gamma_{ij} }[/math] относится к плоскому пространству-времени и описывает инерционные силы. Символы Кристоффеля, сформированные из [math]\displaystyle{ g_{ij} }[/math] и [math]\displaystyle{ \gamma_{ij} }[/math], обозначим [math]\displaystyle{ \{^{i}_{jk}\} }[/math] и [math]\displaystyle{ \Gamma^{i}_{jk} }[/math] соответственно. [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] определим таким образом, чтобы

[math]\displaystyle{ \Delta^{i}_{jk}=\{^{i}_{jk}\}-\Gamma^{i}_{jk}~~~~~~~~~~~~~~(1) }[/math]

Теперь возникают два вида ковариантного дифференцирования: [math]\displaystyle{ g }[/math]-дифференцирование, основанное на [math]\displaystyle{ g_{ij} }[/math] — обозначается точкой с запятой (;), и 3-дифференцирование на основе [math]\displaystyle{ \gamma_{ij} }[/math] — обозначается символом / (обычные частные производные обозначаются запятой (,)). [math]\displaystyle{ R^{\lambda}_{ij \sigma} }[/math] и [math]\displaystyle{ P^{\lambda}_{ij \sigma} }[/math] будут тензорами кривизны, рассчитываемыми из [math]\displaystyle{ g_{ij} }[/math] и [math]\displaystyle{ \gamma_{ij} }[/math] соответственно. На основе вышеизложенного подхода, в том случае, когда [math]\displaystyle{ \gamma_{ij} }[/math] описывает плоскую пространственно-временную метрику, тензор кривизны [math]\displaystyle{ P^{\lambda}_{ij \sigma} }[/math] равен нулю.

Из (1) следует, что хотя [math]\displaystyle{ \{^{i}_{jk}\} }[/math] и [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] не являются тензорами, но [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] — тензор, имеющий такую же форму, как [math]\displaystyle{ \{^{i}_{jk}\} }[/math], за исключением того, что обычная частная производная заменяется 3-ковариантной производной. Простой расчёт приводит к

[math]\displaystyle{ R^{h}_{ijk}=-\Delta^{h}_{ij/k}+\Delta^{h}_{ik/j}+\Delta^{h}_{mj}\Delta^{m}_{ik}-\Delta^{h}_{mk}\Delta^{m}_{ij} }[/math]

Каждый член в правой стороне этого соотношения является тензором. Видно, что от общей теории относительности, можно перейти к новой теории, заменив [math]\displaystyle{ \{^{i}_{jk}\} }[/math] на [math]\displaystyle{ \Delta }[/math], обычное дифференцирование на 3-ковариантное дифференцирование, [math]\displaystyle{ \sqrt {-g} }[/math] на [math]\displaystyle{ \sqrt{\frac{g}{\gamma}} }[/math], элемент интегрирования [math]\displaystyle{ d^{4}x }[/math] на [math]\displaystyle{ \sqrt {-\gamma}d^{4}x }[/math], где [math]\displaystyle{ g = det(g_{ij}) }[/math], [math]\displaystyle{ \gamma = det(\gamma_{ij}) }[/math] и [math]\displaystyle{ d^{4}x = dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4} }[/math]. Необходимо отметить, что, как только мы ввели [math]\displaystyle{ \gamma_{ij} }[/math] в теорию, то в нашем распоряжении оказывается большое число новых тензоров и скаляров. Таким образом, можно получить уравнения поля, отличающиеся от уравнений поля Эйнштейна.

Уравнение для геодезической в биметрической теории относительности (БТО) принимает форму

[math]\displaystyle{ \frac{d^2x}{ds^2}+\Gamma^{i}_{jk}\frac{dx^{j}}{ds}\frac{dx^{k}}{ds}+\Delta^{i}_{jk}\frac{dx^{j}}{ds}\frac{dx^{k}}{ds}=0~~~~~~~~~~~~~~(2) }[/math]

Из уравнений (1) и (2) видно, что можно считать, что [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] описывает инерциальное поле, поскольку [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] исчезает при помощи подходящего преобразования координат. Свойство же [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] быть тензором не зависит от каких-либо систем координат, и, следовательно, можно полагать, что [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] описывает постоянное гравитационное поле.

Розеном (1973) были найдены биметрические теории, удовлетворяющие принципу эквивалентности. В 1966 г. Розен показал, что введение плоской пространственной метрики в рамках общей теории относительности не только позволяет получить плотность энергии-импульса тензора гравитационного поля, но также позволяет получить этот тензор из вариационного принципа. Уравнение поля в БТО, полученное из вариационного принципа

[math]\displaystyle{ K^{i}_{j}= N^{i}_{j}-\frac{1}{2}\delta^{i}_{j}N = -8 \pi \kappa T^{i}_{j}~~~~~~~~~~~~~~(3) }[/math]

где

[math]\displaystyle{ N^{i}_{j}=\frac{1}{2}\gamma^{\alpha \beta}(g^{hi} g_{hj /\alpha})_{/ \beta} }[/math]

или

[math]\displaystyle{ N^{i}_{j}= \gamma^{\alpha \beta}\left\{(g^{hi}g_{hj, \alpha}),\beta - (g^{hi}g_{mj}\Gamma^{m}_{h\alpha}),\beta\right\} - \gamma^{\alpha \beta}(\Gamma^{i}_{j\alpha}),\beta + \Gamma^{i}_{\lambda \beta}[g^{h\lambda}g_{hj},\alpha - g^{h\lambda}g_{mj}\Gamma^{m}_{h\alpha} - \Gamma^{\lambda}_{j\alpha}]-\Gamma^{\lambda}_{j\beta}[g^{hi}g_{h\lambda},\alpha - g^{hi}g_{m\lambda}\Gamma^{m}_{h\alpha} -\Gamma^{i}_{\lambda\alpha}] }[/math]

[math]\displaystyle{ + \Gamma^{\lambda}_{\alpha \beta}[g^{hi}g_{hj},\lambda - g^{hi}g_{mj}\Gamma^{m}_{h\lambda} -\Gamma^{i}_{j\lambda}] }[/math]

[math]\displaystyle{ N= g^{ij}N_{ij}, \kappa=\sqrt{\frac{g}{\gamma}}, }[/math]

и [math]\displaystyle{ T^{i}_{j} }[/math] — тензор энергии-импульса. Вариационный принцип приводит также к связи

[math]\displaystyle{ T^{i}_{j;i}=0. }[/math]

Поэтому из (3)

[math]\displaystyle{ K^{i}_{j;i}=0, }[/math]

что подразумевает, что пробная частица в гравитационном поле движется по геодезической по отношению к [math]\displaystyle{ g_{ij} }[/math]. Физические следствия такой теории, впрочем, не отличаются от общей теории относительности.

При ином выборе исходных уравнений биметрические теории и ОТО различаются в следующих случаях:

• Распространение электромагнитных волн
• Внешнее поле звёзд высокой плотности
• Распространение интенсивных гравитационных волн через сильное статическое гравитационное поле.

Ссылки

• N. Rosen. General Relativity and Flat Space. I (англ.) // Phys. Rev. : journal. — 1940. — Vol. 57, no. 2. — P. 147—150. — doi:10.1103/PhysRev.57.147.
• N. Rosen. General Relativity and Flat Space. II (англ.) // Phys. Rev. : journal. — 1940. — Vol. 57, no. 2. — P. 150—153. — doi:10.1103/PhysRev.57.150.
• N. Rosen. A bi-metric theory of gravitation (англ.) // General Relativity and Gravitation : journal. — 1973. — Vol. 4, no. 6. — P. 435—447. — doi:10.1007/BF01215403. (недоступная ссылка)
• N. Rosen. A bi-metric theory of gravitation. II (англ.) // General Relativity and Gravitation : journal. — 1975. — Vol. 6, no. 3. — P. 259—268. — doi:10.1007/BF00751570. (недоступная ссылка)