Решение Керра — Ньюмена

Реше́ние Ке́рра — Нью́мена — точное решение уравнений Эйнштейна, описывающее невозмущённую электрически заряженную вращающуюся чёрную дыру без космологического члена. Астрофизическая значимость решения неясна, так как предполагается, что встречающиеся в природе коллапсары не могут быть существенно электрически заряжены.

Форма решения и его свойства

Трёхпараметрическое семейство Керра — Ньюмена — наиболее общее решение, соответствующее конечному состоянию равновесия не возмущаемой внешними полями чёрной дыры (согласно теоремам об «отсутствии волос» для известных физических полей). В координатах Бойера — Линдквиста (Boyer — Lindquist) метрика Керра — Ньюмена даётся выражением:

[math]\displaystyle{ ds^2 = -\left(1-{2\,Mr-Q^2\over\Sigma}\right)\,dt^2-2(2\,Mr-Q^2)a{\sin^2\theta\over\Sigma}\,dt\,d\varphi\,+ }[/math]

[math]\displaystyle{ +\left(r^2+a^2+{(2\,Mr-Q^2)a^2\sin^2\theta\over\Sigma}\right)\sin^2\theta\,{d\varphi^2}+{\Sigma\over\Delta}\,dr^2+{\Sigma\,{d\theta^2}}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Sigma \equiv r^2 + a^2 \cos^2\theta }[/math]; [math]\displaystyle{ \Delta \equiv r^2 - 2 Mr + a^2 + Q^2 }[/math] и [math]\displaystyle{ a \equiv L/M }[/math], где [math]\displaystyle{ L }[/math] — момент импульса, нормированный на скорость света, а [math]\displaystyle{ Q }[/math] — аналогично нормированный заряд.

Из этой простой формулы легко вытекает, что горизонт событий находится на радиусе: [math]\displaystyle{ r_+ = M + \sqrt{M^2 - Q^2 - a^2} }[/math], и следовательно параметры чёрной дыры не могут быть произвольными: электрический заряд и угловой момент не могут быть больше значений, соответствующих исчезновению горизонта событий. Должны выполняться следующие ограничения:

[math]\displaystyle{ a^2 + Q^2 \leqslant M^2 }[/math] — это ограничение для ЧД Керра — Ньюмена.

Если эти ограничения нарушатся, горизонт событий исчезнет, и решение вместо чёрной дыры будет описывать так называемую «голую» сингулярность, но такие объекты, согласно распространённым убеждениям, в реальной Вселенной существовать не должны (согласно пока не доказанному, но правдоподобному принципу космической цензуры). Альтернативно, под горизонтом может находиться источник сколлапсировавшей материи, которая закрывает сингулярность, и поэтому внешнее решение Керра или Керра — Ньюмена должно быть непрерывно состыковано с внутренним решением уравнений Эйнштейна с тензором энергии-импульса этой материи. Сингулярность исчезает вместе с ограничением на параметры ЧД решения Керра-Ньюмена.

Ещё в 1970 году В. Израэль рассмотрел источник решения Керра — Ньюмена в виде вращающегося диска, закрывающего этот ход. Это направление было развито К. Лопезом (C. L`opez), показавшим, что керровская сингулярность может быть закрыта вращающейся оболочкой (bubble), и в этом случае ограничение на параметры решения Керра — Ньюмена не действует. Более того, как заметил Б. Картер (1968), решение Керра — Ньюмена обладает таким же гиромагнитным отношением, как у электрона согласно уравнению Дирака. История этого направления для решения Керра — Ньюмена излагается в работе arXiv:0910.5388[hep-th].

Метрику Керра — Ньюмена (и просто Керра, но не Шварцшильда) можно аналитически продолжить через горизонт таким образом, чтобы соединить в чёрной дыре бесконечно много «независимых» пространств. Это могут быть как «другие» вселенные, так и удалённые части нашей Вселенной. В таким образом полученных пространствах есть замкнутые времениподобные кривые: путешественник может, в принципе, попасть в своё прошлое, то есть встретиться с самим собой. Вокруг горизонта событий вращающейся чёрной дыры также существует область, называемая эргосферой, практически эквивалентная эргосфере из решения Керра; находящийся там стационарный наблюдатель обязан вращаться с положительной угловой скоростью (в сторону вращения чёрной дыры).

Координаты Керра — Шильда

Наиболее простое выражение решения Керра и Керра — Ньюмена принимают в форме Керра — Шильда (КШ), в которой метрика имеет вид

[math]\displaystyle{ g_{\mu \nu} =\eta_{\mu \nu} + 2H k_\mu k_\nu }[/math],

где [math]\displaystyle{ \eta_{\mu \nu} }[/math] является метрикой вспомогательного пространства Минковского с декартовыми координатами [math]\displaystyle{ x= x^\mu (x)= (t,x,y,z) }[/math].

В этой форме [math]\displaystyle{ k^\mu (x) }[/math] является векторным полем светоподобных направлений. Часто говорят «нулевых» направлений, поскольку [math]\displaystyle{ k_\mu k^\mu = g_{\mu \nu} k^\mu k^\nu =0 }[/math]. Заметим, что специфическая структура формы метрики КШ гарантирует, что поле [math]\displaystyle{ k^\mu (x) }[/math] является также нулевым относительно вспомогательного плоского пространства, то есть [math]\displaystyle{ \eta_{\mu \nu} k^\mu k^\nu =0 }[/math] .

Функция H имеет вид

[math]\displaystyle{ H =\frac {Mr - |Q|^2/2} {r^2+ a^2 \cos^2\theta} , }[/math]

где [math]\displaystyle{ r, \theta }[/math] — это сплюснутые сфероидальные координаты Керра, которые определяются соотношением

[math]\displaystyle{ x+iy = (r + ia) e^{i\phi} \sin \theta , \ z=r\cos \theta . }[/math]

и переходят вдали от ЧД в обычные сферические координаты. В этих координатах компоненты вектора [math]\displaystyle{ k_\alpha }[/math] определяются из дифференциальной формы

[math]\displaystyle{ k_\alpha dx^\alpha = dr - dt - a \sin ^2 \theta d\phi }[/math]

путём сравнения коэффициентов перед дифференциалами. Это один из примеров вычисления с применением очень удобного аппарата внешних форм, который и был использован Керром для получения решения в первой и последующих работах.

В действительности, Керровская угловая координата [math]\displaystyle{ \phi }[/math] очень необычна, и простая форма КШ связана с тем, что вся сложность решения скрыта в форме векторного поля [math]\displaystyle{ k^\mu (x) }[/math], которое представляет собой вихревой светоподобный поток, образующий так называемую Главную Нулевую Конгруэнцию (ГНК). В декартовых координатах компоненты векторного поля [math]\displaystyle{ k_\mu }[/math] определяются формой

[math]\displaystyle{ k_\mu dx^\mu = - dt +\frac z r dz + \frac r {r^2 +a^2} (xdx+ydy) - \frac a {r^2 +a^2} (xdy-ydx) }[/math].

В теории КШ для определения этого поля используются также «нулевые» (световые) декартовы координаты

[math]\displaystyle{ u=(z-t)/\sqrt {2},\quad v=(z+t)/\sqrt {2},\quad \zeta=(x+iy)/\sqrt {2},\quad \bar\zeta=(x-iy)/\sqrt {2} }[/math],

в которых конгруэнция имеет компоненты, определяемые дифференциальной формой

[math]\displaystyle{ k_\mu^{(\pm)} dx^\mu = P^{-1}(du +\bar Y^\pm d\zeta + Y^\pm d\bar\zeta - Y^\pm \bar Y^{(\pm)} dv) }[/math].

Это выражение определяется комплексной функцией [math]\displaystyle{ Y (x) }[/math], которая имеет два решения [math]\displaystyle{ Y^\pm (x) }[/math], что даёт для векторного поля [math]\displaystyle{ k^\mu (x) }[/math] две различные конгруэнции (ГНК). Таким образом, решение для вращающихся ЧД может быть записано в двух различных формах, которые базируются на «входящей в» ЧД или «исходящей из» ЧД конгруэнции, что соответствует так называемым алгебраически специальным решениям типа D (по классификации Петрова).

Представление в форме КШ обладает рядом преимуществ, так как конгруэнция, все координаты и форма решений для электромагнитного (ЭМ) поля и метрики оказываются жёстко связанными с координатами вспомогательного плоского пространства и не зависят от положения горизонта и границы эргосферы. Более того, решения КШ однозначно продолжаются аналитически через горизонт внутрь ЧД и далее на «отрицательный» лист — область отрицательных значений сплюснутой радиальной координаты [math]\displaystyle{ r }[/math].

В координатах Керра [math]\displaystyle{ \theta , \phi }[/math] функция [math]\displaystyle{ Y (x) }[/math] имеет вид

[math]\displaystyle{ Y(x) = e^{i\phi} \tan \frac \theta 2 }[/math] .

Геометрически, она представляет собой проекцию небесной сферы с координатами [math]\displaystyle{ \theta , \phi }[/math] на комплексную плоскость [math]\displaystyle{ Y }[/math] , однако зависимость [math]\displaystyle{ x \to Y(x) }[/math] очень нетривиальна и задаётся тесно связанной с твисторами теоремой Керра. Фактически, ГНК формирует костяк решения Керра как вихрь твисторных лучей. Функция [math]\displaystyle{ P }[/math] для покоящегося решения имеет вид

[math]\displaystyle{ P = \frac 1 {\sqrt 2} (1+ Y \bar Y ) }[/math].

Подобно форме метрики КШ, все тензорные характеристики решения должны быть согласованными с векторным полем ГНК, и в частности, вектор-потенциал ЭМ поля решения Керра — Ньюмена выражается в виде

[math]\displaystyle{ A^\mu = \Re e \frac {Q r}{r^2 + a^2 \cos ^2 \theta} k^\mu }[/math].

Керровская сингулярность находится под горизонтом. Она связана с сингулярностью функции H и соответствует значениям [math]\displaystyle{ r = 0 }[/math] и одновременно [math]\displaystyle{ \theta = 0 }[/math]. Она представляет собой кольцо, открывающее проход к отрицательному листу геометрии Керра, [math]\displaystyle{ r \lt 0 }[/math], на котором значения массы и заряда, а также направления полей меняются на обратные. (Не путайте с максимальным аналитическим расширением решений через горизонт ЧД, описанным несколько ниже.) Этот второй лист («Алисово зазеркалье») долгое время был загадкой решения Керра.

Литература

• Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация. — Мир, 1977. — Т. 3. — 512 с.
• Субраманьян Чандрасекар. Математическая теория черных дыр. В 2-х томах = Mathematical theory of black holes / Перевод с английского к. ф.-м. н. В. А. Березина. Под ред. д. ф.-м. н. Д. А. Гальцова. — М.: Мир, 1986.
• И. Д. Новиков, В. П. Фролов. Физика черных дыр. — М.: Наука, 1986. — 328 с.