Спектр оператора

Спектр оператора — множество чисел, характеризующее линейный оператор. Применяется в линейной алгебре, функциональном анализе и квантовой механике.

Конечномерный случай

Пусть A — оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве E. Спектром оператора (обычно обозначается [math]\displaystyle{ \sigma(A) }[/math]) называется множество его собственных значений.

Квадратную матрицу порядка [math]\displaystyle{ n }[/math] можно рассматривать как линейный оператор в n-мерном пространстве, что позволяет перенести на матрицы «операторные» термины. В таком случае говорят о спектре матрицы.

Общее определение

Пусть A — оператор, действующий в банаховом пространстве E над [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math]. Число λ называется регулярным для оператора A, если оператор [math]\displaystyle{ R(\lambda)=(A - \lambda I)^{-1} }[/math], называемый резольвентой оператора A, определён на всём E и непрерывен. Множество регулярных значений оператора A называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества — спектром этого оператора [math]\displaystyle{ \sigma(A) }[/math]. Спектр ограниченного оператора представляет собой компакт в [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math] или является пустым. Спектр линейного ограниченного оператора непуст.

Внутри спектра оператора можно выделять части, не одинаковые по своим свойствам. Одной из основных классификаций спектра является следующая:

дискретным (точечным) спектром [math]\displaystyle{ \sigma_p(A) }[/math] называется множество таких [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], при которых оператор [math]\displaystyle{ A - \lambda I }[/math] не инъективен. Дискретный спектр является множеством всех собственных значений оператора A; в конечномерном случае присутствует только точечный спектр;
непрерывным спектром [math]\displaystyle{ \sigma_c(A) }[/math] называется множество значений [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], при которых резольвента [math]\displaystyle{ (A - \lambda I)^{-1} }[/math] определена на всюду плотном множестве в E, но не является непрерывной (то есть оператор [math]\displaystyle{ A - \lambda I }[/math] инъективен, но не сюръективен, а его образ всюду плотен);
остаточным спектром [math]\displaystyle{ \sigma_r(A) }[/math] называется множество точек спектра, не входящих ни в дискретную, ни в непрерывную части (то есть оператор [math]\displaystyle{ A - \lambda I }[/math] инъективен, не сюръективен, причем его образ не является всюду плотным).

Максимум модулей точек спектра оператора A называется спектральным радиусом этого оператора и обозначается через [math]\displaystyle{ r(A) }[/math]. При этом выполняется равенство [math]\displaystyle{ r(A) = \lim_{n \to \infty} \|A^n\|^{1/n} }[/math].

В комплексном случае резольвента является голоморфной операторнозначной функцией на резольвентном множестве. В частности, при [math]\displaystyle{ \lambda\gt r(A) }[/math] она может быть разложена в ряд Лорана с центром в точке [math]\displaystyle{ z=0 }[/math].

Разность двух максимальных по абсолютной величине значений из спектра называется спектральной щелью (англ. spectral gap).

В квантовой механике

Спектр самосопряжённых операторов играет важную роль в квантовой механике, определяя множество возможных значений наблюдаемой при измерении. В частности, спектр гамильтониана определяет допустимые уровни энергии квантовой системы.

Непрерывный спектр в квантовой механике

Непрерывный спектр — это спектр значений физической величины, в котором в отличие от дискретного спектра значение этой величины определено для каждого собственного состояния системы, причем бесконечно малое изменение состояния системы приводит к бесконечно малому изменению физической величины. В качестве физической величины могут выступать: координата, импульс, энергия, орбитальный момент движения и т. д. Так как произвольная волновая функция [math]\displaystyle{ \Psi }[/math] может быть разложена в ряд по собственным функциям величины с дискретным спектром, то она может быть также разложена и в интеграл по полной системе собственных функций величины с непрерывным спектром.

См. также

Литература

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 5 Слу — Я. — 1248 с.