Нотация анализа

Нотация анализа — система математических обозначений, применяемая в математическом анализе, при этом различные математические школы применяют различные обозначения для производной функций или переменных. Использование той или иной нотации зависит от контекста, и одно обозначение может оказаться удобнее других в конкретном случае. Наиболее общеупотребительна нотация Лейбница, также широко используются нотации Лагранжа, Эйлера, Ньютона.

Нотация Лейбница

dy

dx

d²y

dx²

Первая и вторая производные от y по x в нотации Лейбница.

Основная статья: Нотация Лейбница

Оригинальная нотация, использованная Готфридом Вильгельмом Лейбницем, сплошь используется математиками. Она особенно удобна, когда выражение [math]\displaystyle{ y=f(x) }[/math] рассматривается как функциональная связь между переменными [math]\displaystyle{ y }[/math] и [math]\displaystyle{ x }[/math]. Нотация Лейбница делает эту связь явной путём записи производной как

[math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}. }[/math]

Функция, значение которой в точке x является производной от f по x тогда записывается

[math]\displaystyle{ \frac{df}{dx}(x)\text{ или }\frac{d f(x)}{dx}\text{ или }\frac{d}{dx} f(x). }[/math]

Производные большего порядка записываются как

[math]\displaystyle{ \frac{d^2y}{dx^2}, \frac{d^3y}{dx^3}, \frac{d^4y}{dx^4}, \ldots, \frac{d^ny}{dx^n}. }[/math]

Это напоминает формальную манипуляцию символами

[math]\displaystyle{ \frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx} = \left(\frac{d}{dx}\right)^2y = \frac{d^2y}{dx^2}. }[/math]

Вообще говоря, эти равенства не являются теоремами. Более того, они являются просто определениями нотации. К тому же применение правила вычисления производной от дроби к вышеприведённой нотации с использованием dd, чтобы не путать с d², даёт

[math]\displaystyle{ \frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx} = \frac{ddy}{dx^2}-\frac{dy}{dx}\frac{ddx}{dx^2}. }[/math]

Значение производной y в точке [math]\displaystyle{ x=a }[/math] можно выразить с помощью нотации Лейбница двумя путями:

[math]\displaystyle{ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} \text{ или } \frac{dy}{dx}(a) }[/math].

Обозначение Лейбница позволяет указать переменную, по которой ведётся дифференцирования (в знаменателе). Это особенно удобно, когда рассматриваются частные производные. Это также позволяет легко запомнить и распознать правило дифференцирования сложной функции:

[math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}. }[/math]

Нотация Лейбница для дифференцирования не требует придания особого смысла символам, таким как [math]\displaystyle{ dx }[/math] или [math]\displaystyle{ dy }[/math] и некоторые авторы не пытаются придать этим символам какой-то смысл. Лейбниц трактовал эти символы как бесконечно малые величины. Позднее авторы дали им другие смыслы, такие как бесконечно малые в нестандартном анализе или внешние производные.

Некоторые авторы и журналы используют прямое написание символа дифференцирования d вместо курсива, то есть dx. Стандарт ISO/IEC 80000 рекомендует этот стиль.

Нотация Лейбница для первообразной

[math]\displaystyle{ \int y dx }[/math]
[math]\displaystyle{ \int\int y dx^2 }[/math]

Простой и двойной неопределённый интегралы y по x в нотации Лейбница.

Для функций от 2 и более переменных см. Кратный интеграл

Лейбниц ввёл знак интеграла [math]\displaystyle{ \int }[/math] в работах Analyseos tetragonisticae pars secunda и Methodi tangentium inversae exempla (обе работы 1675 года). Знак стал стандартным символом интегрирования.

[math]\displaystyle{ \begin{align} \int y'\,dx &= \int f'(x)\,dx = f(x) + C_0 = y + C_0 \\ \int y\,dx &= \int f(x)\,dx = F(x) + C_1 \\ \iint y\,dx^2 &= \int \left ( \int y\,dx \right ) dx = \int_{X\times X} f(x)\,dx = \int F(x)\,dx = g(x) + C_2 \\ \underbrace{\int \dots \int}_{\!\! n} y\,\underbrace{dx \dots dx}_n &= \int_{\underbrace{X\times\cdots\times X}_n} f(x)\,dx = \int s(x)\,dx = S(x) + C_n \end{align} }[/math]

Нотация Лагранжа

[math]\displaystyle{ f'(x) }[/math]

Функция f от x, продифференцированная один раз в нотации Лагранжа.

Одна из наиболее употребительных нотаций дифференцирования названа именем Жозефа Луи Лагранжа, хотя на самом деле её ввёл Эйлер, а Лагранж просто сделал нотацию популярной. В нотации Лагранжа штрих означает производную. Если f — функция, то её производная от x записывается как

[math]\displaystyle{ f'(x) }[/math].

Нотация появилась в печати в 1749 году.

Производные более высоких порядков отображаются дополнительными знаками, [math]\displaystyle{ f''(x) }[/math] для второй производной и [math]\displaystyle{ f'''(x) }[/math] для третьей производной. Использование кратных штрихов рано или поздно приводит к громоздким выражениям. Некоторые авторы продолжают использование римских цифр, обычно на нижнем регистре как ниже

[math]\displaystyle{ f^{\mathrm{iv}}(x), f^{\mathrm{v}}(x), f^{\mathrm{vi}}(x), \ldots, }[/math]

для обозначения четвёртой, пятой, шестой и производных более высокого порядка. Другие авторы используют арабские цифры в скобках как ниже

[math]\displaystyle{ f^{(4)}(x), f^{(5)}(x), f^{(6)}(x), \ldots. }[/math]

Эта нотация делает возможным записать n-ю производную, где n является переменной. Делается это так

[math]\displaystyle{ f^{(n)}(x). }[/math]

Символы юникода для нотации Лагранжа:

• U+2032 ◌′ штрих (производная)
• U+2033 ◌″ двойной штрих (вторая производная)
• U+2034 ◌‴ тройной штрих (третья производная)
• U+2057 ◌⁗ четверной штрих (четвёртая производная)

Если имеется две независимые переменные для функции f(x, y), можно следовать следующим соглашениям:

[math]\displaystyle{ \begin{align} f^\prime &= \frac{df}{dx} = f_x \\ f_\prime &= \frac{df}{dy} = f_y \\ f^{\prime\prime} &= \frac{d^2 f}{dx^2} = f_{xx} \\ f_\prime^\prime &= \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}\ = f_{xy} \\ f_{\prime\prime} &= \frac{d^2 f}{dy^2} = f_{yy} \end{align} }[/math]

Нотация Лагранжа для первообразной

f⁽⁻¹⁾(x)
f⁽⁻²⁾(x)

Обычный и двойной неопределённые интегралы функции f по переменной x в нотации Лагранжа.

Для обозначения первообразной Лагранж следовал нотации Лейбница:

[math]\displaystyle{ f(x) = \int f'(x)\,dx = \int y\,dx. }[/math]

Однако, поскольку интегрирование является обратной операцией взятия производной, нотация Лагранжа для производных больших степеней распространяется и на интегрирование. Кратные интегралы от f могут быть записаны как

[math]\displaystyle{ f^{(-1)}(x) }[/math] для обычного интеграла (не спутайте с обратной функцией [math]\displaystyle{ f^{-1}(x) }[/math]),

[math]\displaystyle{ f^{(-2)}(x) }[/math] для двойного интеграла,

[math]\displaystyle{ f^{(-3)}(x) }[/math] для тройного интеграла

[math]\displaystyle{ f^{(-n)}(x) }[/math] для n-кратного интеграла.

Нотация Эйлера

[math]\displaystyle{ D_xy }[/math]
[math]\displaystyle{ D^2f }[/math]

Производная по x от y и вторая производная функции f, нотация Эйлера.

Нотация Эйлера использует дифференциальный оператор, предложенный Луи-Франсуа-Антуаном Арбогастом, имеющим обозначение [math]\displaystyle{ D }[/math] (D-оператор) или [math]\displaystyle{ \tilde{D} }[/math] (оператор Ньютона — Лейбница). Когда применяется к функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], оператор определяется как

[math]\displaystyle{ (Df)(x) = \frac{df(x)}{dx}. }[/math]

Производные более высокого порядка обозначаются как «степени» оператора D (где индекс обозначает кратность оператора D)

[math]\displaystyle{ D^2f }[/math] для второй производной,

[math]\displaystyle{ D^3f }[/math] для третьей производной

[math]\displaystyle{ D^nf }[/math] для n-й производной.

Нотация Эйлера не указывает явно переменную, по которой ведётся дифференцирование. Однако эту переменную можно указать и явно. Если f — это функция от переменной x, это можно выразить, записав

[math]\displaystyle{ D_xf }[/math] для первой производной,

[math]\displaystyle{ D^2_xf }[/math] для второй производной,

[math]\displaystyle{ D^3_xf }[/math] для третьей производной

[math]\displaystyle{ D^n_xf }[/math] для n-й производной.

Если f является функцией нескольких переменных, принято использовать «∂», а не D. Как и выше, нижний индекс означает переменную, по которой ведётся дифференцирование. Например, вторые частные производные функции f(x, y) обозначаются как:

[math]\displaystyle{ \partial_{xx} f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \partial_{xy} f = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \partial_{yx} f = \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \partial_{yy} f = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}. }[/math]

См. § Частные производные.

Нотация Эйлера полезна для формулировки и решения линейных дифференциальных уравнений, поскольку упрощает представление дифференциальных уравнений, что позволяет увидеть существенные элементы задачи проще.

Нотация Эйлера для первообразной

[math]\displaystyle{ D^{-1}_xy }[/math]
[math]\displaystyle{ D^{-2}f }[/math]

Первообразная для y от x и вторая первообразная функции f, нотация Эйлера.

Нотация Эйлера может быть использована для первообразной так же, как и нотация Лагранжа, следующим образом

[math]\displaystyle{ D^{-1}f(x) }[/math] для первой первообразной,

[math]\displaystyle{ D^{-2}f(x) }[/math] для второй первообразной

[math]\displaystyle{ D^{-n}f(x) }[/math] для n-й первообразной.

Нотация Ньютона

ẋẍ

Первая и вторая производные x, нотация Ньютона.

Нотация Ньютона для дифференцирования помещает точку над зависимой переменной. То есть, если y является функцией от t, то производная y по t есть

[math]\displaystyle{ \dot y }[/math].

Производные более высокого порядка представляются кратными точками как ниже

[math]\displaystyle{ \ddot y, \overset{...}{y} }[/math]

Ньютон распространил эту идею широко:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \ddot{y} &\equiv \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}\right) = \frac{d}{dt}\Bigl(\dot{y}\Bigr) = \frac{d}{dt}\Bigl(f'(t)\Bigr) = D_t^2 y = f''(t) = y''_t \\ \overset{...}{y} &= \dot{\ddot{y}} \equiv \frac{d^3y}{dt^3} = D_t^3 y = f'''(t) = y'''_t \\ \overset{\,4}{\dot{y}} &= \overset{....}{y} = \ddot{\ddot{y}} \equiv \frac{d^4y}{dt^4} = D_t^4 y = f^{\rm IV}(t) = y^{(4)}_t \\ \overset{\,5}{\dot{y}} &= \ddot{\overset{...}{y}} = \dot{\ddot{\ddot{y}}} = \ddot{\dot{\ddot{y}}} \equiv \frac{d^5y}{dt^5} = D_t^5 y = f^{\rm V}(t) = y^{(5)}_t \\ \overset{\,6}{\dot{y}} &= \overset{...}{\overset{...}{y}} \equiv \frac{d^6y}{dt^6} = D_t^6 y = f^{\rm VI}(t) = y^{(6)}_t \\ \overset{\,7}{\dot{y}} &= \dot{\overset{...}{\overset{...}{y}}} \equiv \frac{d^7y}{dt^7} = D_t^7 y = f^{\rm VII}(t) = y^{(7)}_t \\ \overset{\,10}{\dot{y}} &= \ddot{\ddot{\ddot{\ddot{\ddot{y}}}}} \equiv \frac{d^{10}y}{dt^{10}} = D_t^{10} y = f^{\rm X}(t) = y^{(10)}_t \\ \overset{\,n}{\dot{y}} &\equiv \frac{d^ny}{dt^n} = D_t^n y = f^{(n)}(t) = y^{(n)}_t \end{align} }[/math]

Символы юникода для нотации Ньютона:

• U+0307 ◌̇ точка сверху (производная)
• U+0308 ◌̈ две точки сверху (вторая производная)
• U+20DB ◌⃛ три точки сверху (третья производная).
• U+20DC ◌⃜ четыре точки сверху (четвёртая производная).
• U+030D ◌̍ штрих сверху (интеграл)
• U+030E ◌̎ два штриха сверху (двойной интеграл)
• U+25AD ▭ белый прямоугольник (интеграл)
• U+20DE ◌⃞ объемлющий квадрат (интеграл)
• U+1DE0 ◌ᷠ (n-ая производная)

Нотация Ньютона в основном используется, когда независимой переменной служит время. Если положение y является функцией от времени t, то [math]\displaystyle{ \dot y }[/math] обозначает скорость, а [math]\displaystyle{ \ddot y }[/math] обозначает ускорение. Эта нотация популярна в физике и математической физике. Она также появляется в математических областях, связанных с физикой, таких как дифференциальные уравнения. Нотация популярна только для первой и второй производных, но в этих приложениях производные большего порядка и не требуются.

Когда берётся производная зависимой переменной [math]\displaystyle{ y=f(x) }[/math], существует альтернативная нотация:

[math]\displaystyle{ \frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \dot{y}:\dot{x} \equiv \frac{dy}{dt}:\frac{dx}{dt} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\Bigl(f(x)\Bigr) = D y = f'(x) = y'. }[/math]

Ньютон разработал следующие операторы частных производных на основе точки сбоку от изогнутого X (ⵋ). Определения, данные Вайтсайдом следующие:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \mathcal{X} \ &=\ f(x,y) \,, \\ \cdot\mathcal{X} \ &=\ x\frac{\partial f}{\partial x} = xf_x\,, \\ \mathcal{X}\!\cdot \ &=\ y\frac{\partial f}{\partial y} = yf_y\,, \\ \colon\!\mathcal{X}\,\text{ или }\,\cdot\!\left(\cdot\mathcal{X}\right) \ &=\ x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = x^2 f_{xx}\,, \\ \mathcal{X}\colon\,\text{ или }\,\left(\mathcal{X}\cdot\right)\!\cdot \ &=\ y^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = y^2 f_{yy}\,, \\ \cdot\mathcal{X}\!\cdot\ \ &=\ xy\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = xy f_{xy}\,, \end{align} }[/math]

Нотация Ньютона для интегрирования

x̍x̎

Первая и вторая первообразные x в нотации Ньютона.

Ньютон разработал много различных нотаций для интрегрирования в работе Quadratura curvarum (1704) и более поздних работах — он писал маленькую вертикальную черту или штрих над зависимой переменной ([math]\displaystyle{ \overset{\,\prime}{y} }[/math]), прямоугольник перед переменной ([math]\displaystyle{ {\Box}y }[/math]) или заключение в прямоугольник (y) для обозначения изменения или интеграла по времени.

[math]\displaystyle{ \begin{align} y &= \Box \dot{y} \equiv \int \dot{y} \,dt = \int f'(t) \,dt = D_t^{-1} (D_t y) = f(t) + C_0 = y_t + C_0 \\ \overset{\,\prime}{y} &= \Box y \equiv \int y \,dt = \int f(t) \,dt = D_t^{-1} y = F(t) + C_1 \end{align} }[/math]

Для обозначения кратных интегралов Ньютон использовал маленькие вертикальные чёрточки ([math]\displaystyle{ \overset{\,\prime\prime}{y} }[/math]) или комбинацию прешествующих букве символов [math]\displaystyle{ {\Box}\overset{\,\prime}{y} }[/math] [math]\displaystyle{ \overset{\,\prime}{y} }[/math] для обозначения двойного интеграла по времени.

[math]\displaystyle{ \overset{\,\prime\prime}{y} = \Box \overset{\,\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime}{y} \,dt = \int F(t) \,dt = D_t^{-2} y = g(t) + C_2 }[/math]

Более высокие интегралы по времени были следующие:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \overset{\,\prime\prime\prime}{y} &= \Box \overset{\,\prime\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime\prime}{y} \,dt = \int g(t) \,dt = D_t^{-3} y = G(t) + C_3 \\ \overset{\,\prime\prime\prime\prime}{y} &= \Box \overset{\,\prime\prime\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime\prime\prime}{y} \,dt = \int G(t) \,dt = D_t^{-4} y = h(t) + C_4 \\ \overset{\;n}\overset{\,\prime}{y} &= \Box \overset{\;n-1}\overset{\,\prime}y \equiv \int \overset{\;n-1}\overset{\,\prime}y \,dt = \int s(t) \,dt = D_t^{-n} y = S(t) + C_n \end{align} }[/math]

Эти математические обозначения не стали общеупотребительными ввиду трудности печати и спора Ньютона и Лейбница о приоритете.

Частные производные

f_xf_xy

Функция f, продифференцированная по x, во втором случае — по x и по y.

Когда требуются более специфичные типы дифференцирования, такие как в анализе функций многих переменных или тензорном анализе, общеупотребительны другие нотации.

Для функции f от независимой переменной x мы можем выразить производную с помощью индекса в виде независимой переменной:

[math]\displaystyle{ \begin{align} f_x &= \frac{df}{dx} \\ f_{x x} &= \frac{d^2f}{dx^2}. \end{align} }[/math]

Этот тип нотации особенно полезен для обозначения частных производных функции многих переменных.

∂f∂x

Производная функции f по x.

Частные производные обычно отличают от обычных производных путём замены оператора дифференцирования d на символ «∂». Например, мы можем выразить частную производную [math]\displaystyle{ f(x,y,z) }[/math] по x, но не по y или z несколькими способами:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} = f_x = \partial_x f. }[/math]

Что делает это отличие в нотации важным, это то, что простая производная (не частная), такая как [math]\displaystyle{ \textstyle \frac{df}{dx} }[/math], может, в зависимости от контекста, быть интерпретирована как скорость изменения [math]\displaystyle{ f }[/math] от [math]\displaystyle{ x }[/math], когда все остальные переменные могут изменяться одновременно, в то время как для частной производной, такой как [math]\displaystyle{ \textstyle \frac{\partial f}{\partial x} }[/math], только одна переменная может меняться.

Другие нотации можно найти в различных подобластях математики, физики и технических наук. См., например, соотношения Максвелла термодинамики. Символ [math]\displaystyle{ \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{\!S} }[/math] является производной температуры T по объёму V, сохраняя при этом постоянной энтропию (индекс) S, в то время как [math]\displaystyle{ \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{\!P} }[/math] является производной температуры по объёму при сохранении постоянным давлении P. Это становится необходимым в ситуациях, когда число переменных превосходит число степеней свободы, так что нужно выбирать, какие переменные необходимо сохранять постоянными.

Частные производные большего порядка по одной переменной выражаются как

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2f}{\partial x^2} = f_{xx}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^3f}{\partial x^3} = f_{xxx}, }[/math]

и так далее. Смешанные частные производные можно выразить как

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = f_{xy}. }[/math]

В этом последнем случае переменные записаны в обратном порядке для двух нотаций:

[math]\displaystyle{ (f_{x})_{y} = f_{xy}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2f}{\partial y \partial x}. }[/math]

Так называемый мультииндекс используется в ситуациях, когда вышеописанные обозначения становятся громоздкими или недостаточно выразительными. Если рассматривать функции на [math]\displaystyle{ \R^n }[/math], мы определим мультииндекс как упорядоченный список [math]\displaystyle{ n }[/math] неотрицательных целых чисел: [math]\displaystyle{ \alpha = (\alpha_1,..,\alpha_n), \ \alpha_i \in \Z_{\geq 0} }[/math]. Определим теперь для [math]\displaystyle{ f:\R^n \to X }[/math] нотацию

[math]\displaystyle{ \partial^\alpha f = \frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial x_1^{\alpha_1}} \cdots \frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n}} f }[/math]

При таком определении некоторые результаты (такие как формула Лейбница), которую другим способом записать трудно, может быть выражена кратко. Некоторые примеры можно найти в статье о мультииндексе.

Нотация в векторном анализе

Векторный анализ занимается взятием производной и интегрированием векторного или скалярного поля. Для случая трёхмерного евклидова пространства общеупотребительны некоторые нотации.

Предположим, что [math]\displaystyle{ (x, y, z) }[/math] является заданной декартовой системы координат, A является векторным полем с компонентами [math]\displaystyle{ \mathbf{A} = (\mathbf{A}_x, \mathbf{A}_y, \mathbf{A}_z) }[/math], а [math]\displaystyle{ \varphi = \varphi(x,y,z) }[/math] является скалярным полем.

Оператор дифференцирования, введённый Уильямом Роуэном Гамильтоном, записываемый как [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] и называемый набла, определяется в символической форме как вектор,

[math]\displaystyle{ \nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)\!, }[/math]

Здесь выражение «в символической форме» отражает факт, что оператор [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] можно трактовать как обычный вектор.

[math]\displaystyle{ \nabla\phi }[/math]

Градиент скалярного поля [math]\displaystyle{ \varphi }[/math].

• Градиент: Градиент [math]\displaystyle{ \mathrm{grad\,} \varphi }[/math] скалярного поля [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] является вектором, который символически записывается как умножение [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] на скаляроное поле [math]\displaystyle{ \varphi }[/math],

[math]\displaystyle{ \begin{align} \operatorname{grad} \varphi &= \left( \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z} \right) \\ &= \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \varphi \\ &= \nabla \varphi \end{align} }[/math]

[math]\displaystyle{ \nabla\phi\cdot\mathbf{A} }[/math]

Дивергенция ыекторного поля A.

• Дивергенция: Дивергенция [math]\displaystyle{ \mathrm{div}\,\mathbf{A} }[/math] векторного поля A есть скаляр, который символически выражается как скалярное произведение [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] и вектора A,

[math]\displaystyle{ \begin{align} \operatorname{div} \mathbf{A} &= {\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z} \\ &= \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot \mathbf{A} \\ &= \nabla \cdot \mathbf{A} \end{align} }[/math]

[math]\displaystyle{ \nabla^2\varphi }[/math]

Лапласиан скалярного поля [math]\displaystyle{ \varphi }[/math].

• Оператор Лапласа: Лапласиан [math]\displaystyle{ \operatorname{div} \operatorname{grad} \varphi }[/math] скалярного поля [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] есть скаляр, который символически выражается как скалярное умножение [math]\displaystyle{ \nabla^2 }[/math] на скалярное поле [math]\displaystyle{ \varphi }[/math],

[math]\displaystyle{ \begin{align} \operatorname{div} \operatorname{grad} \varphi &= \nabla \cdot (\nabla \varphi) \\ &= (\nabla \cdot \nabla) \varphi \\ &= \nabla^2 \varphi \\ &= \Delta \varphi \\ \end{align} }[/math]

[math]\displaystyle{ \nabla\times\mathbf{A} }[/math]

Ротация векторного поля A.

• Ротация:Ротация [math]\displaystyle{ \mathrm{rot}\,\mathbf{A} }[/math], или [math]\displaystyle{ \mathrm{rot}\,\mathbf{A} }[/math], векторного поля A — это вектор, который символически выражается как векторное произведение [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] и вектора A,

[math]\displaystyle{ \begin{align} \operatorname{rot} \mathbf{A} &= \left( {\partial A_z \over {\partial y} } - {\partial A_y \over {\partial z} }, {\partial A_x \over {\partial z} } - {\partial A_z \over {\partial x} }, {\partial A_y \over {\partial x} } - {\partial A_x \over {\partial y} } \right) \\ &= \left( {\partial A_z \over {\partial y} } - {\partial A_y \over {\partial z} } \right) \mathbf{i} + \left( {\partial A_x \over {\partial z} } - {\partial A_z \over {\partial x} } \right) \mathbf{j} + \left( {\partial A_y \over {\partial x} } - {\partial A_x \over {\partial y} } \right) \mathbf{k} \\ &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \cfrac{\partial}{\partial x} & \cfrac{\partial}{\partial y} & \cfrac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix} \\ &= \nabla \times \mathbf{A} \end{align} }[/math]

Многие символические операции взятия производный могут быть обобщены простым образом с помощью оператора градиента в декартовых координатах. Например, правило произведения для одной переменной имеет прямой аналог в произведении скалярных полей путём применения оператора градиента

[math]\displaystyle{ (f g)' = f' g+f g' ~~~ \Longrightarrow ~~~ \nabla(\phi \psi) = (\nabla \phi) \psi + \phi (\nabla \psi). }[/math]

Многие другие правила из анализа одной переменной имеют аналоги в векторном анализе для градиента, дивергенции, ротации и лапласиана.

Далее нотация развивалась для более экзотичных видов пространств. Для вычислений в пространстве Минковского, оператор Д’Аламбера, называемый также д’аламберианом или волновым оператором записывается как [math]\displaystyle{ \Box }[/math] или как [math]\displaystyle{ \Delta }[/math], если не образуется конфликт с символом лапласиана.

См. также

• Аналитическое общество
• Гессиан функции
• История математических обозначений
• Матрица Якоби
• Производная функции

Ссылка

• Earliest Uses of Symbols of Calculus, maintained by Jeff Miller (Архивировано 6 июля 2020 года.).