Модель растущего разнообразия товаров

Пол Майкл Ромер

Моде́ль расту́щего разнообра́зия това́ров (модель Пола Ромера, англ. product variety model) — трёхсекторная модель эндогенного экономического роста в условиях монополистической конкуренции, показывающая возможность существования устойчивого экономического роста, обусловленного поведенческими факторами. В модели технологический прогресс является следствием целенаправленной деятельности экономических агентов по инвестированию в новые технологии с целью извлечения прибыли. Модель внесла существенный вклад в понимание того, каким образом решения индивидов влияют на темпы экономического роста, а также причин, по которым бедные страны не могут догнать богатые. Разработана в 1988 году Полом Ромером.

История создания

В первых моделях экономического роста (модель Солоу, модель Харрода — Домара) использовались экзогенно задаваемые параметры «норма сбережений» и «темп научного прогресса», от которых в конечном итоге и зависят темпы роста экономики. Исследователи же хотели получить обоснование темпов экономического роста внутренними (эндогенными) факторами, поскольку модели с нормой сбережений имели ряд недостатков. Эти модели не объясняли устойчивые различия в уровнях и темпах роста между развивающимися и развитыми странами. Появившиеся позже модели Рамсея — Касса — Купманса и пересекающихся поколений преодолели недостаток экзогенности нормы сбережений — теперь эта величина определялась исходя из индивидуальных решений экономических агентов. Однако темп научного прогресса остался экзогенным в этих моделях, и во многом поэтому они тоже не смогли объяснить межстрановые различия. Модели, объясняющие экономический рост путём переопределения понятия «капитал», и включившие человеческий капитал в производственную функцию (например, модель Мэнкью — Ромера — Вейла) также не объясняют всех различий между темпами роста и уровнем развития разных стран, даже после учёта различий в человеческом капитале. Это показали, например, исследования Р. Холла и Ч. Джонса, Дж. Де Лонга, П. Ромера. Попытки прямого включения переменной научного прогресса в производственную функцию натолкнулись на ограничение, связанное с отдачей от масштаба. В условиях совершенной конкуренции при постоянной отдаче от масштаба доход фирмы полностью уходил на оплату труда и капитала. Поэтому будущий лауреат Нобелевской премии по экономике Пол Ромер предложил использовать в моделях монополистическую конкуренцию для объяснения темпов технологического прогресса. Модель растущего разнообразия товаров (также известная как модель Пола Ромера) была представлена на конференции «Проблема экономического развития: изучение экономического развития через свободное предпринимательство», состоявшейся в Университете штата Нью-Йорк в Буффало в мае 1988 года, опубликована в работе Пола Ромера «Эндогенные технологические изменения» в декабре 1989 года в NBER и издана в Journal of Political Economy в 1990 году.

Описание модели

Базовые предпосылки модели

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность. В экономике существует три сектора: промежуточных товаров, конечных товаров и НИОКР. Сектор конечной продукции работает в условиях совершенной конкуренции. Сектор промежуточной продукции работает в условиях монополистической конкуренции. Сектор НИОКР продает свои патенты на изобретенные продукты сектору промежуточных товаров. Экономический рост в модели происходит за счёт увеличения числа промежуточных товаров. В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Время [math]\displaystyle{ t }[/math] изменяется непрерывно.

Трудовые ресурсы [math]\displaystyle{ L }[/math], считающиеся в модели постоянными ([math]\displaystyle{ L=const }[/math]), распределены между секторами производства конечной продукции и НИОКР:

[math]\displaystyle{ L=L_Y+L_{RD} }[/math],

где [math]\displaystyle{ L_Y }[/math] — трудовые ресурсы, занятые в производстве, которые в модели считаются постоянными во времени, [math]\displaystyle{ L_Y=const }[/math], [math]\displaystyle{ L_{RD} }[/math] — трудовые ресурсы в научно-исследовательском секторе, [math]\displaystyle{ L_{RD}=const }[/math].

Производственная функция обладает убывающей предельной производительностью, постоянной отдачей от масштаба и представляет собой функцию Диксита — Стиглица:

[math]\displaystyle{ Y_t=AL_Y^{1-\alpha}\int\limits_{0}^{N_{t}}x_j^\alpha dj }[/math],

где [math]\displaystyle{ Y_t }[/math] — выпуск конечного продукта, [math]\displaystyle{ A }[/math] — уровень технологической производительности в экономике, [math]\displaystyle{ A=const }[/math], [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — эластичность выпуска по промежуточному товару, [math]\displaystyle{ 0 \lt \alpha \lt 1 }[/math], [math]\displaystyle{ \alpha = const }[/math], [math]\displaystyle{ x_j }[/math] — количество используемого [math]\displaystyle{ j }[/math]-го промежуточного продукта, [math]\displaystyle{ N_t }[/math] — количество промежуточных продуктов в экономике в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math].

Физический капитал [math]\displaystyle{ K }[/math] в экономике равен сумме промежуточных продуктов, каждый из которых полностью используется в производственном цикле:

[math]\displaystyle{ K_t=\int\limits_{0}^{N_t}x_jdj }[/math].

Цена единицы выпуска конечного продукта в модели: [math]\displaystyle{ P=1 }[/math]. Это означает, что цены промежуточных продуктов даны как отношение к цене конечного продукта: [math]\displaystyle{ p_j=\frac{P_j}{P} }[/math]. Реальная заработная плата равна [math]\displaystyle{ w=\frac{W}{P} }[/math].

Инвестиции [math]\displaystyle{ I }[/math] в модели равны сбережениям [math]\displaystyle{ S }[/math] и вычисляются исходя из тождества системы национальных счетов:

[math]\displaystyle{ I_t=\dot{K}=Y_t-C_t }[/math],

где [math]\displaystyle{ C_t=c_t L }[/math] — совокупное потребление, [math]\displaystyle{ c_t }[/math] — потребление на единицу труда в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math], [math]\displaystyle{ \dot{K} }[/math] — производная капитала по времени.

Функция полезности потребителя обладает постоянной эластичностью замещения по времени, как и в модели Рамсея — Касса — Купманса:

[math]\displaystyle{ U(c)=\int\limits_{0}^{\infin} e^{-\rho t} \frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta}dt }[/math],

где [math]\displaystyle{ \frac{1}{\theta} }[/math] — эластичность замещения по времени, [math]\displaystyle{ \theta\gt 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \theta = const }[/math], [math]\displaystyle{ {\rho} }[/math] — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, [math]\displaystyle{ \rho\gt -1 }[/math], [math]\displaystyle{ \rho = const }[/math]. Функция удовлетворяет условиям [math]\displaystyle{ u'(c)\gt 0, u''(c)\lt 0 }[/math] и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): [math]\displaystyle{ \lim_{c \to 0} u'(c)=+\infin;\ \lim_{c \to \infty}u'(c)=0 }[/math].

Как и в модели Рамсея — Касса — Купманса, доходы индивида состоят из заработной платы [math]\displaystyle{ w }[/math] и поступлений от активов [math]\displaystyle{ ra_t }[/math]. Активы индивида [math]\displaystyle{ a_t }[/math] могут быть как положительными, так и отрицательными (долг). Процентная ставка [math]\displaystyle{ r_t }[/math] по вложениям и по долгу в модели принята одинаковой. В связи с этим в модели присутствует условие отсутствия схемы Понци (финансовой пирамиды): нельзя бесконечно выплачивать старые долги за счет новых:

[math]\displaystyle{ \lim_{t \to \infty}a_te^{-\int\limits_{0}^{t}(r(\nu)-n)d\nu}\geqslant0 }[/math],

где [math]\displaystyle{ a_t=\frac{K_t}{L_t}=k_t }[/math] — в закрытой экономике весь капитал принадлежит резидентам, а величина активов индивида [math]\displaystyle{ a }[/math] совпадает с запасом капитала на одного работающего.

Задача фирмы и производство промежуточного и конечного продуктов

Сектор конечной продукции работает в условиях совершенной конкуренции. Задача фирмы-производителя конечных товаров выглядит следующим образом:

[math]\displaystyle{ AL_Y^{1-\alpha}\int\limits_{0}^{N_{t}}x_j^\alpha dj-\int\limits_{0}^{N_t} p_jx_jdj-wL_Y\longrightarrow\underset{x_j,L_Y}{\max} }[/math],

Необходимые условия максимума выглядят следующим образом:

[math]\displaystyle{ p_j=\alpha A x_j^{\alpha-1} L_Y^{1-\alpha} \ \forall j }[/math],

[math]\displaystyle{ w=(1-\alpha) A L_Y^{-\alpha} \int\limits_{0}^{N_t} x_j^\alpha dj }[/math]

Для упрощения вычислений автор принимает предпосылку о том, что все промежуточные продукты одинаковы [math]\displaystyle{ x_j=x \ \forall j }[/math], что означает, что и их цены равны: [math]\displaystyle{ p_j = p_x \ \forall j }[/math]. В этом случае функция спроса на [math]\displaystyle{ j }[/math]-й промежуточный продукт имеет вид:

[math]\displaystyle{ x_j=x=L_Y\left ( A \frac{\alpha}{p_x} \right )^{\frac{1}{1-\alpha}} }[/math].

Далее вводится предпосылка о том, что ввод нового [math]\displaystyle{ (j+1) }[/math]-го товара вознаграждается монополией на его производство, а издержки единицы промежуточного продукта равны [math]\displaystyle{ \gamma }[/math]. Тогда задача максимизации прибыли монополиста-производителя нового товара примет следующий вид:

[math]\displaystyle{ \alpha A x_{j+1}^{\alpha-1} L_Y^{1-\alpha}-\gamma x_{j+1} \longrightarrow \underset{x_{j+1}}{\max} }[/math].

Откуда следует, что цена нового товара равна: [math]\displaystyle{ p_{j+1}=\frac{\gamma}{\alpha} }[/math].

Поскольку действует предпосылка о симметрии, это означает, что цены всех промежуточных товаров [math]\displaystyle{ x_j }[/math] равны между собой. В итоге получаем производственную функцию следующего вида:

[math]\displaystyle{ Y_t= A^{\frac{1}{1-\alpha}}\left ( \frac{\alpha^2}{\gamma} \right )^{\frac{\alpha}{1-\alpha}} N_t L_Y }[/math].

Прибыль производителя промежуточного продукта — [math]\displaystyle{ {\pi}_x }[/math] — равна:

[math]\displaystyle{ {\pi}_x=(1-{\alpha}){\gamma}^{-\alpha} {\alpha}^{\frac{1+{\alpha}}{1-{\alpha}}} A^{\frac{1}{1-{\alpha}}}L_Y=const }[/math].

Научно-исследовательский сектор и патенты

Патент в модели даёт монопольное право на производство одного вида промежуточного продукта. Цена патента равна стоимости будущей дисконтированной прибыли фирмы-монополиста. [math]\displaystyle{ q }[/math] — цена патента, имеет следующий вид:

[math]\displaystyle{ q={\pi}_x\int\limits_{t}^{\infin} e^{-\int\limits_{t}^{s}r_{\nu}d{\nu}}ds }[/math],

где [math]\displaystyle{ r }[/math] — процентная ставка.

Производная [math]\displaystyle{ q }[/math] по времени имеет следующий вид: [math]\displaystyle{ \dot{q}=-{\pi}_x+r_tq_t }[/math].

Производственная функция научного-исследовательского сектора в модели находится из следующего дифференциального уравнения:

[math]\displaystyle{ \dot{N}=bL_{RD}N_t }[/math],

где [math]\displaystyle{ b }[/math] — производительность в научно-исследовательском секторе, [math]\displaystyle{ b=const }[/math], [math]\displaystyle{ \dot{N} }[/math] — производная количества промежуточных продуктов по времени, также предполагается положительный внешний эффект от количества промежуточных товаров [math]\displaystyle{ N_t }[/math].

Научно-исследовательский сектор работает в условиях совершенной конкуренции, потому цена патента [math]\displaystyle{ q }[/math] равна предельным издержкам по разработке новой технологии [math]\displaystyle{ \eta }[/math]:

[math]\displaystyle{ q={\frac{w}{bN}}=const=\eta }[/math].

Задача потребителя и экономический рост

Доходы индивида расходуются либо на потребление, либо на увеличение активов (сбережений). С учетом того, что население постоянно, бюджетное ограничение имеет вид:

[math]\displaystyle{ \dot{a}=w_t+r_ta_t-c }[/math].

Задача потребителя, как и в большинстве других моделей экономического роста, в том, чтобы максимизировать свою полезность. Максимум функции полезности [math]\displaystyle{ U(c) }[/math] находится путём построения функции Гамильтона и нахождения её максимума с помощью принципа максимума Понтрягина.

Нахождение максимума функции Гамильтона

Функция Гамильтона выглядит следующим образом:

[math]\displaystyle{ H=\frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta}e^{-\rho t}+\lambda_t (w+ra_t-c) }[/math]

при условии:

[math]\displaystyle{ \lim_{t \to \infty}a_te^{-\int\limits_{0}^{t}(r(\nu)-n)d\nu}\geqslant0 }[/math].

Условие максимума первого порядка: [math]\displaystyle{ \frac{\partial H}{\partial c}=c^{-\theta}e^{-\rho t}-\lambda_t=0 }[/math].

Фазовая координата (сопряжённое уравнение): [math]\displaystyle{ \frac{\partial H}{\partial a}=r\lambda_t=-\dot{\lambda} }[/math], где [math]\displaystyle{ \dot{\lambda} }[/math] — производная [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] по времени.

Условие трансверсальности (при невыполнении которого найденное решение может оказаться не максимумом, а седловой точкой): [math]\displaystyle{ \lim_{t \to \infty}\lambda_ta_t=0 }[/math], где [math]\displaystyle{ \lambda_t }[/math] представляют собой теневые цены активов (теневые цены учитывают внешние эффекты в стоимости товаров, если фирмы и потребители принимают решения в соответствии со структурой цен, пропорциональной теневой, то в экономике достигается оптимальное по Парето состояние). В данном случае условие трансверсальности совпадает с ограничением на отсутствие схемы Понци.

Решение выглядит следующим образом:

[math]\displaystyle{ \frac{\dot{c}}{c}=\frac{1}{\theta}(r_t-{\rho}) }[/math],

где [math]\displaystyle{ \dot{c} }[/math] — производная потребления на душу населения по времени.

В устойчивом состоянии темпы роста потребления равны темпам роста выпуска и капитала, а в равновесном состоянии цена патента [math]\displaystyle{ q }[/math] постоянна, потому:

[math]\displaystyle{ r_t=\frac{\pi}{q} }[/math],

[math]\displaystyle{ \frac{\dot{c}}{c}=\frac{\dot{Y}}{Y}=\frac{\dot{K}}{K}=\frac{1}{\theta}\left ( \frac{\pi}{q} - {\rho} \right )=\frac{1}{\theta}({\alpha}bL_Y-{\rho})=const }[/math],

где [math]\displaystyle{ \dot{Y} }[/math] — производная выпуска по времени.

Таким образом, внутренние параметры модели определяют темпы экономического роста без участия экзогенно задаваемой нормы сбережений.

Оптимальные темпы роста

Оптимальные с точки зрения общества в целом темпы роста находятся из решения следующей задачи централизованного планирования:

[math]\displaystyle{ \max \int\limits_{0}^{\infin} \frac{C^{1-{\theta}}}{1 - {\theta}}e^{-{\rho}t}dt }[/math]

при условиях

[math]\displaystyle{ \dot{K}=Y_t-C_t=K_t^{\alpha}A L_Y^{1-\alpha}N^{1-\alpha}-C_t }[/math],

[math]\displaystyle{ \dot{N}=bL_{RD}N_t }[/math],

[math]\displaystyle{ L_Y+L_{RD}=L }[/math].

Нахождение максимума функции Гамильтона

Для решения этой задачи динамической оптимизации строится функция Гамильтона, которая решается при помощи принципа максимума Понтрягина:

[math]\displaystyle{ \hat{H}=\frac{C^{1-{\theta}}}{1 - {\theta}}e^{-{\rho}t}+{\lambda_t}(Y_t-C_t)+{\mu}_t bL_{RD}N_t+\chi(L_Y+L_{RD}-L) }[/math].

Условия максимума первого порядка:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial \hat{H}}{\partial C}=C^{-\theta}e^{-\rho t}-\lambda_t=0 }[/math],

[math]\displaystyle{ \frac{\partial \hat{H}}{\partial L_Y}={\lambda}_t (1-\alpha)A\biggl(\frac{K_t}{L_Y}\biggr)^{\alpha}N^{1-\alpha}+\chi=0 }[/math],

[math]\displaystyle{ \frac{\partial \hat{H}}{\partial L_{RD}}=\mu_t bN_t + \chi=0 }[/math].

Фазовые координаты (сопряжённые уравнения):

[math]\displaystyle{ \frac{\partial \hat{H}}{\partial K}=\lambda_t \alpha A\biggl(\frac{L_Y}{K_t}\biggr)^{1-\alpha}N^{1-\alpha} =-\dot{\lambda} }[/math],

[math]\displaystyle{ \frac{\partial \hat{H}}{\partial N}=\lambda_t (1-\alpha) K^{\alpha}L_Y^{1-\alpha}N^{-\alpha}+\mu_t b L_{RD}=-\dot{\mu} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \dot{\lambda} }[/math] и [math]\displaystyle{ \dot{\mu} }[/math] — производные [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] и [math]\displaystyle{ \mu }[/math] по времени, где [math]\displaystyle{ \lambda_t }[/math] представляет собой теневую цену капитала, а [math]\displaystyle{ \mu_t }[/math] — теневую цену научных исследований.

Исходя из фазовых координат и условий максимума первого порядка находятся оптимальные темпы роста:

[math]\displaystyle{ \Biggl({\frac{\dot{Y}}{Y}}\Biggr)_{opt}=\frac{1}{\theta}((1-\alpha)^{-\frac{1}{\alpha}}\alpha bL-{\rho}) }[/math].

Более высокие темпы роста при централизованном планировании (поскольку [math]\displaystyle{ (1-\alpha)^{-\frac{1}{\alpha}}\gt 1 }[/math]), чем при максимизации прибылей фирм-монополистов, достигаются за счёт того, что, во-первых, учитывается весь объём выпуска, а не только прибыль монополистов, во-вторых, учитывается отдача всех трудовых ресурсов [math]\displaystyle{ L }[/math], а не только тех, которые формируют прибыль монополистов, и в-третьих, уровень финансирования научно-исследовательского сектора выше. Однако данные темпы роста достижимы лишь в теории, механизма перехода к оптимальным параметрам модель не предполагает.

Преимущества, недостатки и дальнейшее развитие модели

В предшествующих моделях экономического роста (например, АК-модель, модель пересекающихся поколений, модель Рамсея — Касса — Купманса) не была раскрыта целенаправленная деятельность экономических агентов по инвестированию в новые технологии с целью извлечения прибыли. В них инвестиционные решения принимаются опосредованно, через оптимальный уровень физического капитала. Явная же спецификация издержек и выгод от инвестиций отсутствовала. Модель растущего разнообразия товаров преодолела этот недостаток: в ней издержки и выгоды от инвестиций отражены в явном виде. Таким образом, экономический рост в модели является следствием решений индивидов, а не экзогенно задаваемой переменной, что является несомненным её преимуществом. Вследствие этого модель растущего разнообразия товаров существенно лучше объясняет различия в технологическом уровне между странами, чем предшествующие модели, которые в большинстве своём предполагали наличие абсолютной или условной конвергенции, что означает, что бедные страны по своему уровню развития должны догонять богатые. В реальности же лишь есть лишь единичные примеры (японское экономическое чудо, корейское экономическое чудо), когда бедные страны смогли догнать богатые по уровню ВВП на душу населения, в большинстве случаев сближения уровня развития не происходит. Модель растущего разнообразия товаров не предполагает ни абсолютной, ни условной конвергенции, так как темпы роста не падают с ростом объёма выпуска, а значит, в рамках её предпосылок бедные страны не могут догнать богатые.

Вместе с тем существенным недостатком модели является отсутствие перетока технологий между странами. Однако модель обладает большим потенциалом для дальнейших расширений и включения дополнительных эффектов. Этим воспользовались Роберт Барро и Хавьер Сала-и-Мартин, создавшие модель распространения технологий, преодолевшую этот недостаток. В их исследовании моделируется процесс движения технологий между странами. Страны делятся на 2 группы: страны-лидеры разрабатывает новые технологии, а страны-последователи пытаются их повторить. В этой модели наблюдается условная конвергенция. Помимо этого, в модели Барро и Сала-и-Мартина показано, что страны-последователи имеют более высокую ставку процента, чем страны-лидеры, но она снижается в долгосрочном периоде. В странах-лидерах ставка процента колеблется вокруг равновесного значения.

Другим существенным недостатком модели является зависимость темпов роста от объёма трудовых ресурсов [math]\displaystyle{ L }[/math], что предполагает, что большие (с точки зрения населения) страны должны расти существенно быстрее малых, что не нашло эмпирического подтверждения. Например, Чарльз Джонс показал, что это не соответствует эмпирическим данным. В своей работе Джонс предложил модель, объясняющую полученные результаты, которая является упрощённой модификацией модели растущего разнообразия товаров, в которой количество инноваций зависит не от общего числа, а от доли населения, занятого в секторе НИОКР.

Джин Гроссман и Эльханан Хелпман использовали модель растущего разнообразия товаров для анализа последствий мировой торговли. Модель Ромера является одним из источников теории экономической сложности, в частности, моделей приспособленности стран и сложности продуктов, разрабатываемых Лучано Пьетронеро и его коллегами.

В 2018 году Пол Ромер получил Нобелевскую премию по экономике, и ряд экспертов связывают её с разработкой модели растущего разнообразия товаров, поскольку она стала основой для исследований разницы между богатыми и бедными странами, а также позволяет рассчитать стоимость патента.

Литература

• Асемоглу Д. Введение в теорию современного экономического роста: в 2 кн. Книга 1 = Introduction to Modern Economic Growth (2009). — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2018. — 928 с. — ISBN 978-5-7749-1262-9.
• Акаев А. А. Модели инновационного экономического роста AN-типа // МИР (Модернизация, Инновация, Развитие). — 2015. — Т. 6, № 2. — С. 70—79. — doi:10.18184/2079-4665.2015.6.2.70.79.
• Барро Р. Д., Сала-и-Мартин Х. Экономический рост / Пер. с англ.. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-94774-790-4.
• Джонс Ч. И., Воллрат Д. Введение в теорию экономического роста = Introduction to Economic Growth. — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2018. — 296 с. — ISBN 978-5-7749-1299-5.
• Туманова Е. А., Шагас Н. Л. Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода. — М.: ИНФРА-М, 2004. — 400 с. — ISBN 5-1600-1864-6.
• Шараев Ю. В. Теория экономического роста. — М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2006. — 254 с. — ISBN 5-7598-0323-9.
• Barro R. D., Sala-i-Martin X. Technological Diffusion, Convergence, and Growth // NBER Working Paper. — 1995. — № 5151. — doi:10.3386/w5151.
• De Long J. B. Productivity Growth, Convergence, and Welfare: Comment // The American Economic Review. — 1988. — Vol. 78, № 5. — P. 1138—1154.
• Grossman G., Helpman E. Innovation and Growth in the Global Economy. — Cambridge, MA: MIT Press, 1991. — ISBN 978-0-26207-136-9.
• Hall R. E., Jones C. I. The Productivity of Nations // NBER Working Paper. — 1996. — № 5812. — doi:10.3386/w5812.
• Howitt P. W. Endogenous Growth Theory // The New Palgrave Dictionary of Economics / Macmillan Publishers Ltd. — L.: Palgrave Macmillan UK, 2018. — P. 3632—3636. — ISBN 978-1-349-95188-8.
• Jones C. I. R&D-Based Models of Economic Growth // Journal of Political Economy. — 1995. — Vol. 103, № 4. — P. 759—784.
• Kamihigashi T. Transversality Conditions and Dinamic Economic Behaviour // The New Palgrave Dictionary of Economics / Macmillan Publishers Ltd. — L.: Palgrave Macmillan UK, 2018. — P. 13858—13862. — ISBN 978-1-349-95188-8.
• Onyimadu C. An Overview of Endogenous Growth Models: Theory and Critique // SSRN Electronic Journal. — 2015. — Vol. 5, № 3. — P. 498—514. — doi:10.2139/ssrn.2685545.
• Romer P. M. Endogenous Technological Change // Journal of Political Economy. — 1990. — Vol. 98, № 5. — P. 71—102.
• Romer P. M. Endogenous Technological Change // NBER Working Paper. — 1989. — № 3210. — doi:10.3386/w3210.
• Romer P. M. Human Capital And Growth: Theory and Evidence // NBER Working paper. — 1989. — № 3173. — doi:10.3386/w3173.
• Zaccaria A., Cristelli M., Tacchella A., Pietronero L.. How the Taxonomy of Products Drives the Economic Development of Countries // PLOS One. — 2014. — Vol. 9, № 12. — P. e113770. — doi:10.1371/journal.pone.0113770.