Седловая точка

Седловая точка функции z=x²-y² (обозначена красным)

Седловая точка на карте высот (центр «восьмерки» образованной изолиниями)

Не следует путать с гиперболической точкой — точкой, которую также называют седловой точкой поверхности.

Седловая точка в математическом анализе — такая точка из области определения функции, которая является стационарной для данной функции, однако не является её локальным экстремумом. Является точкой равновесия в чистых стратегиях. В такой точке, если рассматривается функция двух переменных, образованная графиком функции поверхность обычно напоминает по форме седло или горный перевал — выпуклая в одном направлении и вогнутая в другом. На карте высот седловая точка может быть в общем случае обнаружена в месте пересечения изолиний. Например, два холма, между которыми находится высокий перевал, образуют седловую точку в вершине этого перевала: на карте высот это будет выглядеть как центр «восьмерки», образованной соответствующими изолиниями.

Седловая точка в математическом анализе

Проверить, является ли данная стационарная точка функции F(x,y) двух переменных седловой, можно, вычислив матрицу Гессе функции в этой точке: если гессиан будет неопределенной квадратичной формой, то данная точка — седловая. Например, составив матрицу Гессе функции [math]\displaystyle{ z=x^2-y^2 }[/math] в стационарной точке [math]\displaystyle{ (0, 0) }[/math] получим матрицу:

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & -2 \\ \end{bmatrix} }[/math]

которая является неопределенной. Поэтому, точка [math]\displaystyle{ (0, 0) }[/math] данной функции — седловая. Однако вышеприведенный критерий предоставляет только достаточное условие наличия седловой точки. Например, [math]\displaystyle{ (0, 0) }[/math] является седловой точкой функции [math]\displaystyle{ z=x^4-y^4 }[/math], но матрица Гессе в данном случае будет нулевой матрицей, которую, по определению, нельзя назвать неопределенной.

В общем случае, седловой точкой гладкой функции (график которой изображает кривую, поверхность или гиперповерхность) называется такая стационарная точка, в окрестности которой данная кривая/поверхность/гиперповерхность не лежит полностью по одну сторону касательного пространства в данной точке.

График y = x³ с седловой точкой в 0

В случае функции одной переменной, седловая точка — такая точка, которая одновременно является и стационарной точкой, и точкой перегиба (точка перегиба не является локальным экстремумом).

См. также

• Критическая точка (математика)
• Метод перевала
• Экстремум
• Особая точка (дифференциальные уравнения)
• Матрица (математика)

Литература

• Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L. & Frank, David H (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, с. page 375, ISBN 0-387-97388-5 
• Гильберт Д., Кон-Фоссен С., Наглядная геометрия. — URSS, Пер. с нем., Изд.5, 2010. 344
• von Petersdorff, Tobias (2006), Critical Points of Autonomous Systems, Differential Equations for Scientists and Engineers (Math 246 lecture notes), <http://www.wam.umd.edu/~petersd/stab.html>. Проверено 12 ноября 2009.  Архивная копия от 3 января 2007 на Wayback Machine
• Widder, D. V. (1989), Advanced calculus, New York: Dover Publications, с. page 128, ISBN 0-486-66103-2