Многочлен Джонса

Многочлен Джонса — полиномиальный инвариант узла, сопоставляющий каждому узлу или зацеплению многочлен Лорана от формальной переменной [math]\displaystyle{ t^{1/2} }[/math] с целыми коэффициентами. Построен Воном Джонсом в 1984 году.

Определение через скобку Кауффмана

Для заданного ориентированного зацепления [math]\displaystyle{ L }[/math] определяется вспомогательный многочлен:

[math]\displaystyle{ X(L) = (-A^3)^{-w(L)}\langle L \rangle }[/math],

где [math]\displaystyle{ w(L) }[/math] — число закрученности диаграммы [math]\displaystyle{ L }[/math], а [math]\displaystyle{ \langle L \rangle }[/math] — скобка Кауффмана. Число закрученности определяется как разница между числом положительных перекрёстков [math]\displaystyle{ L_{+} }[/math] и числом отрицательных перекрёстков [math]\displaystyle{ L_{-} }[/math] и не является инвариантом узла: оно не сохраняется при преобразованиях Рейдемейстера I типа.

[math]\displaystyle{ X(L) }[/math] — инвариант узла, поскольку он инвариантен относительно всех трёх преобразований Рейдемейстера диаграммы [math]\displaystyle{ L }[/math]. Инвариантность относительно преобразований II и III типов следует из инвариантности скобки Кауффмана и числа закрученности относительно этих преобразований. Напротив, для преобразования I типа скобка Кауффмана умножается на [math]\displaystyle{ -A^{\pm 3} }[/math], что в точности компенсируется изменением на +1 или −1 числа закрученности [math]\displaystyle{ w(L) }[/math].

Многочлен Джонса определяется из [math]\displaystyle{ X(L) }[/math] подстановкой:

[math]\displaystyle{ A = t^{-1/4} }[/math],

результирующее выражение является многочленом Лорана от переменной [math]\displaystyle{ t^{1/2} }[/math].

Определение через представления группы кос

Оригинальное определение Джонса использует операторную алгебру и понятие следа представления кос, возникшего в статистической механике (модель Поттса).

Теорема Александера утверждает, что любое зацепление [math]\displaystyle{ L }[/math] является замыканием косы с [math]\displaystyle{ n }[/math] нитями, в связи с этим можно определить представление [math]\displaystyle{ \rho }[/math] группы кос [math]\displaystyle{ B_n }[/math] с [math]\displaystyle{ n }[/math] нитями на алгебре Темперли — Либа [math]\displaystyle{ TL_n }[/math] с коэффициентами из [math]\displaystyle{ \mathbb Z [A, A^{-1}] }[/math] и [math]\displaystyle{ \delta = -A^2 - A^{-2} }[/math]. Стандартная образующая косы [math]\displaystyle{ \sigma_i }[/math] равна [math]\displaystyle{ A \cdot e_i + A^{-1} \cdot 1 }[/math], где [math]\displaystyle{ 1, e_1, e_2, ..., e_{n-1} }[/math] — стандартные образующие алгебры Темперли — Либа. Для слова [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] косы [math]\displaystyle{ L }[/math] вычисляется [math]\displaystyle{ \sigma ^{n-1} tr \rho (\sigma) }[/math], где [math]\displaystyle{ tr }[/math] — след Маркова, в результате получается [math]\displaystyle{ \langle L \rangle }[/math], где [math]\displaystyle{ \langle }[/math] [math]\displaystyle{ \rangle }[/math] — скобочный полином.

Преимущество этого подхода состоит в том, что выбрав аналогичные представления в других алгебрах, таких как представление [math]\displaystyle{ R }[/math]-матриц, можно прийти к обобщениям инвариантов Джонса (например, таковым является понятие [math]\displaystyle{ k }[/math]-параллельного полинома Джонса).

Определение через скейн-соотношения

Многочлен Джонса однозначно задаётся тем, что он равен 1 на любой диаграмме тривиального узла, и следующим скейн-соотношением:

[math]\displaystyle{ (t^{1/2} - t^{-1/2})V(L_0) = t^{-1}V(L_{+}) - tV(L_{-}) }[/math],

где [math]\displaystyle{ L_{+} }[/math], [math]\displaystyle{ L_{-} }[/math], и [math]\displaystyle{ L_{0} }[/math] — три ориентированных диаграммы зацепления, совпадающих везде, кроме малой области, где их поведение соответственно является положительным и отрицательным пересечениями и гладким проходом без общих точек:

Свойства

Многочлен Джонса обладает многими замечательными свойствами.

Для зацеплений с нечётным числом компонент (в частности, для узлов) все степени переменной [math]\displaystyle{ t }[/math] в многочлене Джонса целые, а для зацеплений с чётным числом компонент — полуцелые.

Многочлен Джонса связной суммы узлов равен произведению полиномов Джонса слагаемых, то есть:

[math]\displaystyle{ V(L_1 \# L_2) = V(L_1) V(L_2) }[/math].

Многочлен Джонса несвязной суммы узлов равен:

[math]\displaystyle{ V(L_1 \cup L_2) = -(t^{-1/2}+t^{1/2}) V(L_1) V(L_2) }[/math].

Многочлен Джонса объединения зацепления [math]\displaystyle{ L }[/math] и тривиального узла равен:

[math]\displaystyle{ V(L \cup O) =- (t^{-1/2}+t^{1/2})V(L) }[/math].

Для [math]\displaystyle{ L^{*_k} }[/math] — ориентированного зацепления, получаемого из заданного ориентированного зацепления [math]\displaystyle{ L }[/math] заменой ориентации некоторой компоненты [math]\displaystyle{ k }[/math] на противоположную, имеет место:

[math]\displaystyle{ V_{L^*} = t^{-3 \cdot \lambda} \cdot V(L) }[/math],

где [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] — это коэффициент зацепления компоненты [math]\displaystyle{ k }[/math] и [math]\displaystyle{ L-k }[/math].

Многочлен Джонса не меняется при обращении узла, то есть при замене направления обхода на противоположное (смене ориентации).

Зеркально-симметричный образ зацепления имеет многочлен Джонса, получающийся заменой [math]\displaystyle{ t }[/math] на [math]\displaystyle{ t^{-1} }[/math] (свойство легко проверяется с использованием определения через скобку Кауффмана).

Если [math]\displaystyle{ K }[/math] — узел, тогда:

[math]\displaystyle{ V_K (e^{2 \pi i / 3}) = 1 }[/math].

Значение многочлена Джонса для зацепления [math]\displaystyle{ L }[/math] с числом компонент зацепления [math]\displaystyle{ p }[/math] в точке 1:

[math]\displaystyle{ V_L (1) = (-2)^{p-1} }[/math].

Многочлен Джонса [math]\displaystyle{ (m,n) }[/math]-торического узла:

[math]\displaystyle{ V(t) = \frac{t^{\frac{(m-1) \cdot (n-1)}{2}} \cdot (1 - t^{m+1} - t^{n+1} + t^{m+n})}{1 - t^2} }[/math].

Открытые проблемы

В 2003 году построено семейство нетривиальных зацеплений с многочленом Джонса равным многочлену Джонса тривиального зацепления, при этом неизвестно, существует ли нетривиальный узел, многочлен Джонса которого является таким же, как и у тривиального узла. В 2017 году построено семейство нетривиальных узлов [math]\displaystyle{ K_r }[/math] с [math]\displaystyle{ 20\cdot 2^{r-1}+1 }[/math] пересечениями, для которых многочлен Джонса [math]\displaystyle{ V(K_r) }[/math] сравним с единицей по модулю [math]\displaystyle{ 2^r }[/math].

Вариации и обобщения

• Теория Черна — Саймонса описывает топологический порядок в состояниях дробного квантового эффекта Холла. С точки зрения математики теория Черна — Саймонса интересна тем, что позволяет вычислять инварианты узлов, такие как многочлен Джонса.

• В 2000 году Михаил Хованов построил цепной комплекс для узлов и зацеплений и показал, что гомологии этого комплекса являются инвариантом узлов (гомологии Хованова). Эта теория гомологий является категорификацией многочлена Джонса, то есть многочлен Джонса является эйлеровой характеристикой для этой гомологии.

• Многочлен HOMFLY — похожий инвариант узлов и зацеплений.

Литература

• Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.