Инвариант конечного типа
Инвариант конечного типа (или инвариант Васильева) — класс инвариантов узлов, характеризующийся определённым соотношением на все разрешения сингулярного узла с данным числом самопересечений.
Определение
Пусть [math]\displaystyle{ f }[/math] — инвариант узлов со значениями в вещественных числах, то есть [math]\displaystyle{ f(K) }[/math] есть вещественное число определённое для каждого узла [math]\displaystyle{ K }[/math], такое, что [math]\displaystyle{ f(K)=f(K') }[/math], если узлы [math]\displaystyle{ K }[/math] и [math]\displaystyle{ K' }[/math] изотопны.
Рассмотрим плоскую диаграмму [math]\displaystyle{ D }[/math] узла и выберем некоторое подмножество её перекрестков, состоящее из [math]\displaystyle{ m }[/math] элементов. Пронумеруем эти перекрёстки от 1 до [math]\displaystyle{ m }[/math].
Для набора [math]\displaystyle{ (\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_m) }[/math], где [math]\displaystyle{ \varepsilon_i=\pm 1 }[/math] рассмотрим диаграмму [math]\displaystyle{ D[\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_m] }[/math], полученную из [math]\displaystyle{ D }[/math] изменением перекрестков по такому правилу: если [math]\displaystyle{ \varepsilon_i= 1 }[/math], то [math]\displaystyle{ i }[/math]-й перекресток не меняется, а если [math]\displaystyle{ \varepsilon_i= -1 }[/math], то меняется на противоположный.
Пусть [math]\displaystyle{ n }[/math] неотрицательное целое число. В случае если для любой диаграммы [math]\displaystyle{ D }[/math] и любого выбора [math]\displaystyle{ m\gt n }[/math] перекрёстков выполняется тождество
- [math]\displaystyle{ \sum_{(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_m)}\varepsilon_1\cdots\varepsilon_m\cdot f(D[\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_m])=0 }[/math]
то говорят, что [math]\displaystyle{ f }[/math] имеет степень не выше [math]\displaystyle{ n }[/math].
Инварианты конечной степени называются инвариантами конечного типа.
Примеры
- Все известные полиномиальные инварианты узлов выражаются через инварианты конечного типа.
- Коэффициент при квадратичном члене в многочлене Александера является инвариантом конечного типа степени два.
- Любой коэффициент в интеграле Концевича является инвариантом конечного типа.
Свойства
- Инварианты степени не выше [math]\displaystyle{ n }[/math] образуют векторное пространство [math]\displaystyle{ V_n }[/math]. При этом
- [math]\displaystyle{ V_0\subset V_1\subset V_2\subset\dots }[/math]
- [math]\displaystyle{ V_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ V_1 }[/math] являются одномерными, то есть инварианты степени не выше [math]\displaystyle{ 1 }[/math] — это только константы.
- [math]\displaystyle{ V_m\cdot V_n\subset V_{m+n} }[/math]
Открытые вопросы
- Образуют ли инварианты конечного типа полную систему инвариантов? То есть верно ли, что если два узла [math]\displaystyle{ K }[/math] и [math]\displaystyle{ K' }[/math] не изотопны, то найдется инвариант конечного типа [math]\displaystyle{ v }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ v(K)\ne v(K') }[/math]?
История
Инварианты узлов конечного типа были предложены независимо Васильевым и Гусаровым[1] в конце 1980-х годов. Васильеву принадлежат первые публикации на эту тему (1990),[1] Гусаров, выступил на семинаре Рохлина в 1987 году а первая публикация вышла только в 1991[2].
В 1992 году Арнольд сделал на эту тему доклад на Европейском математическом конгрессе.[3] С этих пор закрепился термин «инварианты Васильева».
Примечания
- ↑ V. A. Vassiliev. Cohomology of knot spaces // Advances in Soviet Math.. — 1990. — Т. 1. — С. 23–69.
- ↑ М. Н. Гусаров. Новая форма многочлена Конвея — Джонса ориентированных зацеплений // Записки научных семинаров ПОМИ. — 1991. — Т. 193.
- ↑ V. I. Arnold. Vassiliev’s theory of discriminants and knots // First European Congress of Mathematicians. — 1992. — Т. 1. — С. 3–29.
Литература
- С. В. Дужин, С. В. Чмутов. Узлы и их инварианты // Матем. просв., сер. 3. — 1999. — Т. 3. — С. 59—93.