Инвариант конечного типа

Инвариант конечного типа (или инвариант Васильева) — класс инвариантов узлов, характеризующийся определённым соотношением на все разрешения сингулярного узла с данным числом самопересечений.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ f }[/math] — инвариант узлов со значениями в вещественных числах, то есть [math]\displaystyle{ f(K) }[/math] есть вещественное число определённое для каждого узла [math]\displaystyle{ K }[/math], такое, что [math]\displaystyle{ f(K)=f(K') }[/math], если узлы [math]\displaystyle{ K }[/math] и [math]\displaystyle{ K' }[/math] изотопны.

Рассмотрим плоскую диаграмму [math]\displaystyle{ D }[/math] узла и выберем некоторое подмножество её перекрестков, состоящее из [math]\displaystyle{ m }[/math] элементов. Пронумеруем эти перекрёстки от 1 до [math]\displaystyle{ m }[/math].

Для набора [math]\displaystyle{ (\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_m) }[/math], где [math]\displaystyle{ \varepsilon_i=\pm 1 }[/math] рассмотрим диаграмму [math]\displaystyle{ D[\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_m] }[/math], полученную из [math]\displaystyle{ D }[/math] изменением перекрестков по такому правилу: если [math]\displaystyle{ \varepsilon_i= 1 }[/math], то [math]\displaystyle{ i }[/math]-й перекресток не меняется, а если [math]\displaystyle{ \varepsilon_i= -1 }[/math], то меняется на противоположный.

Пусть [math]\displaystyle{ n }[/math] неотрицательное целое число. В случае если для любой диаграммы [math]\displaystyle{ D }[/math] и любого выбора [math]\displaystyle{ m\gt n }[/math] перекрёстков выполняется тождество

[math]\displaystyle{ \sum_{(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_m)}\varepsilon_1\cdots\varepsilon_m\cdot f(D[\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_m])=0 }[/math]

то говорят, что [math]\displaystyle{ f }[/math] имеет степень не выше [math]\displaystyle{ n }[/math].

Инварианты конечной степени называются инвариантами конечного типа.

Примеры

• Все известные полиномиальные инварианты узлов выражаются через инварианты конечного типа.
  • Коэффициент при квадратичном члене в многочлене Александера является инвариантом конечного типа степени два.
• Любой коэффициент в интеграле Концевича является инвариантом конечного типа.

Свойства

• Инварианты степени не выше [math]\displaystyle{ n }[/math] образуют векторное пространство [math]\displaystyle{ V_n }[/math]. При этом

  [math]\displaystyle{ V_0\subset V_1\subset V_2\subset\dots }[/math]

  • [math]\displaystyle{ V_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ V_1 }[/math] являются одномерными, то есть инварианты степени не выше [math]\displaystyle{ 1 }[/math] — это только константы.
  • [math]\displaystyle{ V_m\cdot V_n\subset V_{m+n} }[/math]

Открытые вопросы

• Образуют ли инварианты конечного типа полную систему инвариантов? То есть верно ли, что если два узла [math]\displaystyle{ K }[/math] и [math]\displaystyle{ K' }[/math] не изотопны, то найдется инвариант конечного типа [math]\displaystyle{ v }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ v(K)\ne v(K') }[/math]?

История

Инварианты узлов конечного типа были предложены независимо Васильевым и Гусаровым[1] в конце 1980-х годов. Васильеву принадлежат первые публикации на эту тему (1990), Гусаров, выступил на семинаре Рохлина в 1987 году а первая публикация вышла только в 1991.

В 1992 году Арнольд сделал на эту тему доклад на Европейском математическом конгрессе. С этих пор закрепился термин «инварианты Васильева».

Литература

• С. В. Дужин, С. В. Чмутов. Узлы и их инварианты // Матем. просв., сер. 3. — 1999. — Т. 3. — С. 59—93.