Кружевное зацепление

Кружевной узел (−2,3,7) имеет две правосторонние скрутки в первом плетении, три левосторонние скрутки во втором и семь левосторонних скруток в третьем.

В теории узлов кружевное зацепление (или крендельное зацепление) — это специальный вид зацепления. Кружевное зацепление, являющееся также узлом (то есть зацеплением с одной компонентой), называется кружевным узлом, крендельным узлом или просто кренделем.

В стандартной проекции кружевное зацепление [math]\displaystyle{ (p_1,\,p_2,\dots,\,p_n) }[/math] имеет [math]\displaystyle{ p_1 }[/math] левосторонних скруток в первом плетении, [math]\displaystyle{ p_2 }[/math] во втором и, в общем случае, [math]\displaystyle{ p_n }[/math] в n-ом.

Кружевное зацепление можно описать как зацепление Монтезиноса с целым числом переплетений.

Некоторые базовые результаты

Кружевное зацепление [math]\displaystyle{ (p_1,p_2,\dots,p_n) }[/math] является узлом тогда и только тогда, когда и [math]\displaystyle{ n }[/math], и все [math]\displaystyle{ p_i }[/math] являются нечётными или в точности одно из чисел [math]\displaystyle{ p_i }[/math] чётно .

Кружевное зацепление [math]\displaystyle{ (p_1,\,p_2,\dots,\,p_n) }[/math] является разводимым, если по меньшей мере два [math]\displaystyle{ p_i }[/math] равны нулю. Однако обратное неверно.

Кружевное зацепление [math]\displaystyle{ (-p_1,-p_2,\dots,-p_n) }[/math] является отражением кружевного зацепления [math]\displaystyle{ (p_1,\,p_2,\dots,\,p_n) }[/math].

Кружевное зацепление [math]\displaystyle{ (p_1,\,p_2,\dots,\,p_n) }[/math] эквивалентно (то есть гомотопически эквивалентно на S³) кружевному зацеплению [math]\displaystyle{ (p_2,\,p_3,\dots,\,p_n,\,p_1) }[/math]. Тогда, также, кружевное зацепление [math]\displaystyle{ (p_1,\,p_2,\dots,\,p_n) }[/math] эквивалентно кружевному зацеплению [math]\displaystyle{ (p_k,\,p_{k+1},\dots,\,p_n,\,p_1,\,p_2,\dots,\,p_{k-1}) }[/math].

Кружевное зацепление [math]\displaystyle{ (p_1,\,p_2,\,\dots,\,p_n) }[/math] эквивалентно кружевному зацеплению [math]\displaystyle{ (p_n,\,p_{n-1},\dots,\,p_2,\,p_1) }[/math]. Однако если ориентировать зацепление в каноническом виде, эти два зацепления имеют противоположную ориентацию.

Примеры

Трилистник

Кружевной узел (1, 1, 1) — это (правосторонний) трилистник, а узел (−1, −1, −1) является его зеркальным отражением.

Стивидорный
узел

Кружевной узел (5, −1, −1) — это стивидорный узел (6₁).

Если p, q и r являются различными нечётными числами, большими 1, то кружевной узел (p, q, r) является необратимым.

Кружевное зацепление (2p, 2q, 2r) — это зацепление, образованное тремя связанными тривиальными узлами.

Прямой узел

Кружевной узел (−3, 0, −3) (прямой узел) является связной суммой двух трилистников.

Кружевное зацепление (0, q, 0)) — это разводимое зацепление тривиального узла с другим узлом.

Зацепление Монтесиноса

Зацепление Монтесиноса. В этом примере [math]\displaystyle{ e=-3 }[/math] , [math]\displaystyle{ \alpha_1 /\beta_1=-3/2 }[/math] и [math]\displaystyle{ \alpha_2 /\beta_2=5/2 }[/math] .

Зацепление Монтесиноса — это специальный вид зацепления, обобщающее кружевные зацепления (кружевное зацепление можно считать зацеплением Монтесиноса с целыми переплетениями). Зацепление Монтесиноса, являющееся также узлом (то есть, зацепление с однлй компонентой) является узлом Монтесиноса.

Зацепление Монтесиноса состоит из нескольких рациональных плетений. Одним из обозначений зацепления Монтесиноса является [math]\displaystyle{ K(e;\alpha_1 /\beta_1,\alpha_2 /\beta_2,\ldots,\alpha_n /\beta_n) }[/math] .

В этих обозначениях [math]\displaystyle{ e }[/math] и все [math]\displaystyle{ \alpha_i }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta_i }[/math] являются целыми числами. Зацепление Монтесиноса, заданное таким обозначением, состоит из суммы рациональных плетений, заданных целым числом [math]\displaystyle{ e }[/math], и рациональных плетений [math]\displaystyle{ \alpha_1 /\beta_1,\alpha_2 /\beta_2,\ldots,\alpha_n /\beta_n }[/math]

Использование

Съедобный кружевной узел (−2,3,7)

Кружевные зацепления (−2, 3, 2n + 1) особенно полезны при изучении 3-многообразий. В частности, для этих многообразий многие результаты были установлены на основе хирургии Дена на кружевном узле (−2,3,7).

Гиперболический объём дополнения кружевного зацепления (−2,3,8) равен учетверённой постоянной Каталана, примерно 3,66. Это кружевное зацепление является одним из двух гиперболических многообразий с двумя каспами с минимальными возможными объёмами, второе многообразие является дополнением зацепления Уайтхеда.

Литература

• Ian Agol. The minimal volume orientable hyperbolic 2-cusped 3-manifolds // Proceedings of the American Mathematical Society. — 2010. — Т. 138, вып. 10. — doi:10.1090/S0002-9939-10-10364-5.

Литература для дальнейшего чтения

• Hale F. Trotter. Topology. — Pergamon Press, 1963. — Т. 2. — С. 272—280.
• Akio Kawauchi. A survey of knot theory. — Birkhäuser, 1996. — ISBN 3-7643-5124-1.
• Heiner Zieschang. Classification of Montesinos knots // Topology / A. Dold, B. Eckmann/Ludwig D.Faddeev, Arkadii A. Mal’cev. General and Algebraic Topology, and Applications. Proceeding of the International Topological Conference held in Leningrad, August 23-27, 1982. — Berlin Heidelberg: Springer, 1984. — Т. 1060. — (Lecture Notes in Mathematics/USSR). — ISBN 3-540-13337-2. — ISBN 0-387-13337-2.