Многочлен HOMFLY

Многочлен HOMFLY — инвариант зацепления в форме многочлена двух переменных.

Является одним из самых чувствительных инвариантов зацеплений. В частности, многочлены Джонса и Александера выражаются через HOMFLY подстановками. В то же время HOMFLY вычисляется проще вышеназванных многочленов.

Название HOMFLY объединяет инициалы его авторов: Джима Хоста, Адриана Окняну, Кеннета Миллетта, Питера Дж. Фрейда, У. Б. Р. Ликориша и Дэвида Н. Йеттера. Иногда многочлен называют HOMFLY-PT, указывая на связанную независимую работу Юзефом Х. Пшитицким и Павлом Трачиком.

Определение

HOMFLY зацепления — многочлен двух переменных m и l и определяется скейн-соотношением:

[math]\displaystyle{ P(\text{тривиальный узел}) = 1, }[/math]

[math]\displaystyle{ \ell P(L_+) + \ell^{-1}P(L_-) + mP(L_0)=0,\, }[/math]

где [math]\displaystyle{ L_+, L_-, L_0 }[/math] — зацепления, образованные перестройками у одного пересечения диаграммы, как показано на рисунке.

Многочлен HOMFLY зацепления L, которое является разделённым объединением двух зацеплений [math]\displaystyle{ L_1 }[/math]и [math]\displaystyle{ L_2 }[/math], задаётся как

[math]\displaystyle{ P(L) = \frac{-(\ell+\ell^{-1})}{m} P(L_1)P(L_2). }[/math]

Свойства

• HOMFLY мултипликативен относительно связной суммы узлов:

  [math]\displaystyle{ P(L_1 \# L_2)=P(L_1)\cdot P(L_2). }[/math]

• Если [math]\displaystyle{ K' }[/math] — отражение зацепления [math]\displaystyle{ K }[/math], то

  [math]\displaystyle{ P_K(\ell,m)=P_{K'}(\ell^{-1},m), }[/math].

  • В частности, многочлен HOMFLY можно использовать для различения двух узлов разной хиральности. Однако существуют хиральные пары узлов, которые имеют один и тот же многочлен HOMFLY, например, узлы 9₄₂ и 10₇₁

Литература

• Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.