Дикий узел
Дикий узел — патологическое вложение окружности в пространство.
Дикие узлы можно найти в некоторых кельтских узорах.[источник не указан 3236 дней]
Определение
Узел называется ручным, если он может быть «утолщён», то есть если существует его расширение до полнотория S 1 × D 2, допускающего вложение в 3-сферу. В теории узлов и в теории 3-многообразий[англ.]* часто слово «ручной» опускается.
Узлы, не являющиеся ручными, называются ди́кими и могут иметь патологическое поведение.
Примеры
.png)
Дикими являются узлы, содержащие так называемые дуги Фокса — Артина[англ.] — некоторые простые дуги, полученные диким вложением в [math]\displaystyle{ E^3 }[/math]. Например, для дуги [math]\displaystyle{ L_1 }[/math] фундаментальная группа [math]\displaystyle{ p_1 }[/math]([math]\displaystyle{ E^3L }[/math]) нетривиальна, для дуги [math]\displaystyle{ L_2 }[/math] группа [math]\displaystyle{ {\pi}_1(E^3/L) }[/math] тривиальна, но само [math]\displaystyle{ E^3/L }[/math] не гомеоморфно дополнению в [math]\displaystyle{ E^3 }[/math] к точке[1].
На рисунке выше приведён дикий узел с одной дикой (патологической) точкой. Легко построить дикий узел, содержащий несколько патологических точек, бесконечное число таких точек, и даже несчётное множество патологических точек. В книге Сосинского[2] приведено построение дикого узла, патологические точки которого образуют канторово множество. Возможно представить и дикий узел, содержащее более сложное множество — ожерелье Антуана[2].
Свойcтва
- Узел является ручным тогда и только тогда, когда он может быть представлен в виде конечной ломаной.
- Гладкие узлы являются ручными.
Вариации и обобщения
- Нетривиальные дикие узлы появляются и в сферах старших размерностей. Например по теореме о двойной надстройке, двойная надстройка над сферой Пуанкаре гомеоморфна стандартной сфере [math]\displaystyle{ \mathbb S^5 }[/math]. При этом экватор двойной надстройки образует в [math]\displaystyle{ \mathbb S^5 }[/math] дикой узел и его дополнение имеет нетривиальную фундаментальную группу.
См. также
Примечания
- ↑ Войцеховский М. И. Дикий узел // Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. [69] (стб. 137—138).
- ↑ 2,0 2,1 Сосинский, 2005, с. 22.
Литература
- L. H. Kauffman. An invariant of regular isotopy // Transactions of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1990. — Vol. 318, № 2.
- А. Б. Сосинский. Узлы. Хронология одной математической теории. — Москва: МЦНМО, 2005. — ISBN 5-94057-220-0.
 | Для улучшения этой статьи желательно: |