Сателлитный узел
Сателлитный узел — конструкция позволяющая построить новый узел из двух узлов с определёнными дополнительными структурами. Эта конструкция включает связную сумму узлов а также удвоение Уайтхеда как частные случаи.
Построение
Сателлитный узел [math]\displaystyle{ K }[/math] можно описать следующим образом: начните с нетривиальныого узла [math]\displaystyle{ K' }[/math] лежащего внутри незаузленного полнотория [math]\displaystyle{ V }[/math]. «Нетривиальный» означает, что [math]\displaystyle{ K' }[/math] не может лежать в шаре вложенном в [math]\displaystyle{ V }[/math] и не изотопен центральной кривой полнотория. Затем завязать полноторие в нетривиальный узел. То есть применить нетривиальное вложение [math]\displaystyle{ f\colon V \to \mathbb{S}^3 }[/math], такое, что и [math]\displaystyle{ K=f(K') }[/math]. При этом образ центральной кривой полнотория [math]\displaystyle{ V }[/math] называется компаньёном [math]\displaystyle{ K }[/math].
Обычно дополнительно предполагают, что вложение [math]\displaystyle{ f\colon V \to \mathbb{S}^3 }[/math] раскрученно, то есть [math]\displaystyle{ f }[/math] не меняют индекс зацепления двух окружностей в [math]\displaystyle{ V }[/math].
История
В 1949 году Хорст Шуберт доказал[1], что каждый ориентированный узел в [math]\displaystyle{ \mathbb{S}^3 }[/math] разлагается в связную сумму узлов и это разложение единственно с точностью до перестановки. Вскоре после этого, он понял, что может дать новое доказательство этой теоремы анализируя несжимаемые торы, в дополнении к связной сумме. Это привело его к исследованию общих несжимаемых торов в дополнении узла, и к определению сателлитного узла[2]