Магнитостатика

Магнитоста́тика — раздел классической электродинамики, в котором изучаются свойства стационарного магнитного поля (поля постоянных электрических токов или постоянных магнитов), рассматриваются способы расчета магнитного поля постоянных токов и анализируется взаимодействие токов посредством создаваемых ими полей.

Приближение магнитостатики

Реальные электромагнитные поля всегда в какой-то мере изменяются со временем. Для их описания существуют уравнения Максвелла. Под приближением магнитостатики (случаем магнитостатики) на практике понимают достаточно медленное изменение полей, чтобы можно было считать их постоянными с приемлемой точностью и оперировать более простыми уравнениями.

Магнитостатика вместе с электростатикой представляют собой подобласти электродинамики; их подходы можно использовать совместно и независимо, поскольку расчет электрического и магнитного полей в этом случае не имеет взаимозависимостей.

В рамках магнитостатики изучается как ситуация вакуума, так и ситуация магнитной среды — магнетика. При этом любая среда рассматривается макроскопически, то есть поля на атомных масштабах усредняются, молекулярные токи и магнитные моменты рассматриваются только в их совокупности.

Базовый теоретический аппарат

Основу теоретического аппарата магнитостатики составляют два уравнения Максвелла, которые могут быть записаны в дифференциальной:

[math]\displaystyle{ \mathrm{div}\vec{B} = 0\, }[/math] (СИ, СГС)

[math]\displaystyle{ \mathrm{rot}\vec{H} = \vec j\, }[/math] (СИ) [math]\displaystyle{ \qquad\mathrm{rot}\vec{H} = \frac{4\pi}{c}\,\vec j\, }[/math] (СГС)

или интегральной:

[math]\displaystyle{ \oint\vec{B}\cdot d\vec{s} = 0 }[/math] (СИ, СГС)

[math]\displaystyle{ \oint\vec{H}\cdot d\vec{L} = \int \vec j\cdot d\vec{S}\, }[/math] (СИ) [math]\displaystyle{ \qquad\oint\vec{H}\cdot d\vec{L} = \frac{4\pi}{c}\int \vec j\cdot d\vec{S}\, }[/math] (СГС)

форме. Здесь [math]\displaystyle{ \vec{B} }[/math] — вектор магнитной индукции, [math]\displaystyle{ \vec{H} }[/math] — вектор напряжённости магнитного поля, [math]\displaystyle{ \vec{j} }[/math] — плотность тока проводимости, [math]\displaystyle{ c }[/math] — скорость света в вакууме, [math]\displaystyle{ d\vec{L} }[/math] — элемент контура интегрирования, [math]\displaystyle{ d\vec{S} }[/math] — векторный элемент площадки. Интегрирование в левых частях формул для [math]\displaystyle{ \vec{H} }[/math] выполняется по произвольному замкнутому контуру, а в правых по произвольной поверхности, натянутой на этот контур.

Напряжённость и вектор индукции связаны соотношением

[math]\displaystyle{ \vec{B} = \mu_0\mu\vec{H}\, }[/math] (СИ) [math]\displaystyle{ \qquad \vec{B} = \mu\vec{H} }[/math] (СГС),

где [math]\displaystyle{ \mu_0 }[/math] — магнитная постоянная, [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — магнитная проницаемость среды (в общем случае зависящая от координат, а иногда и от величины [math]\displaystyle{ H }[/math]; для вакуума [math]\displaystyle{ \mu = 1 }[/math]).

Расчёт магнитного поля

Наиболее общий случай

В общем случае, поле в задачах магнитостатики при известном распределении токов находится по выписанным выше формулам. Обычно для этого требуются численные методы, но в ситуациях высокой симметрии (скажем, для цилиндирчески-симметричных плотностей токов и магнитных свойств среды: [math]\displaystyle{ \vec{j} = j(R)\vec{e}_z }[/math], [math]\displaystyle{ \mu = \mu(R) }[/math], где [math]\displaystyle{ R }[/math] — расстояние от некоей оси, [math]\displaystyle{ \vec{e}_z }[/math] — орт вдоль этой оси) возможны аналитические решения. Для ситуации вакуума есть особые техники расчета.

Закон Био—Савара для вакуума

Основная статья: Закон Био — Савара — Лапласа

Для вакуума магнитостатическое поле может быть вычислено с применением закона Био — Савара, задающего величину магнитного поля, генерируемого в данной точке элементом тока ([math]\displaystyle{ I\,d\vec{l} }[/math], если элемент линейный, [math]\displaystyle{ \vec{j}dV }[/math], если объёмный):

[math]\displaystyle{ d\vec{B} = \frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{\left[d\vec{l}\times\vec r\right]}{r^3}\, }[/math] (СИ) [math]\displaystyle{ \qquad d\vec{B} = \frac{I}{c}\frac{\left[d\vec{l}\times\vec r\right]}{r^3}\, }[/math] (СГС)

[math]\displaystyle{ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\left[\vec{j} dV\times\vec r\right]}{r^3}\, }[/math] (СИ) [math]\displaystyle{ \qquad d\vec{B} = \frac{1}{c}\frac{\left[\vec{j} dV\times\vec r\right]}{r^3}\, }[/math] (СГС),

где [math]\displaystyle{ \vec{r} }[/math] — вектор, проведённый из элемента тока в точку, где определяется магнитное поле.

Уравнения магнитостатики для вакуума линейны, что позволяет использовать принцип суперпозиции:

[math]\displaystyle{ \vec{B} = \int d\vec{B} }[/math],

то есть осуществлять суммирование (интегрирование) по вкладам отдельных элементов в поле.

Метод магнитных зарядов

Основная статья: Магнитный заряд

Для расчёта магнитного поля в магнитостатике можно пользоваться (и часто это весьма удобно) понятием магнитного заряда, вводящим аналогию магнитостатики с электростатикой и позволяющим применять в магнитостатике формулы, аналогичные формулам электростатики — но не для электрического, а для магнитного поля. Обычно (за исключением случая теоретического рассмотрения гипотетических магнитных монополей) подразумевается лишь чисто формальное использование, так как в реальности магнитные заряды не обнаружены. Такое формальное использование (фиктивных) магнитных зарядов возможно благодаря теореме эквивалентности поля магнитных зарядов и поля постоянных электрических токов. Фиктивные магнитные заряды можно использовать при решении разных задач как в качестве источников магнитного поля, так и для определения действия внешних магнитных полей на магнитное тело (магнит, катушку).

Комментарий о ситуации в среде

С микроскопической точки зрения среда состоит из частиц (молекул и др.), находящихся в вакууме. Гипотетически можно было бы всегда пользоваться уравнениями Максвелла для вакуума, приравняв [math]\displaystyle{ \mu }[/math] всюду единице. Однако, чтобы так сделать, нужно было бы в [math]\displaystyle{ \vec{j} }[/math] охватывать все токи (в том числе микротоки, обеспечивающие магнитную поляризацию вещества (молекулярные токи), которые обычно заранее неизвестны. Из-за этого, в частности, сфера применения закона Био—Савара ограничена только ситуацией отсутствия среды.

Поэтому в магнитостатике (и в электродинамике вообще) принят иной подход, когда под полем [math]\displaystyle{ \vec{B} }[/math] понимается макроскопическое поле, иначе говоря, поле, усреднённое по малому (но всё же содержащему достаточное число молекул) объёму среды. При этом под [math]\displaystyle{ \vec{j} }[/math] подразумевается именно ток проводимости. Молекулярный же ток [math]\displaystyle{ \vec{j}_{mol} }[/math]учитывается величиной намагниченности [math]\displaystyle{ \vec{M} }[/math], входящей в соотношениe

[math]\displaystyle{ \vec H= \frac{1}{\mu_0}\vec B - \vec M\, }[/math] (CИ) [math]\displaystyle{ \qquad\vec H = \vec B - 4\pi \vec M\, }[/math] (СГС),

где

[math]\displaystyle{ \mathrm{rot}\vec{M} = \vec{j}_{mol}\, }[/math] (СИ) [math]\displaystyle{ \qquad\mathrm{rot}\vec{M} = c^{-1}\vec{j}_{mol}\, }[/math] (СГС).

Формально, получается, что всё, касающееся конкретной среды, «спрятано» в единственную зависимость — зависимость намагниченности от намагничивающего поля (то есть, в принципе, в одну-единственную формулу) вида [math]\displaystyle{ \vec M = f(\vec H) = \chi_m\vec{H} }[/math]. Здесь [math]\displaystyle{ \chi_m }[/math] — магнитная восприимчивость (не обязательно постоянная), при этом [math]\displaystyle{ \mu = 1 + \chi_m }[/math] (СИ) или [math]\displaystyle{ \mu = 1 + 4\pi\chi_m }[/math] (СГС).

Расчёт силы взаимодействия

Основные статьи: Сила Лоренца и Закон Ампера

Выражение для силы Лоренца (силы, с которой на движущуюся заряженную частицу действует магнитное поле) имеет вид

[math]\displaystyle{ \vec F = q^*\left[\vec{v}^*\times\vec B\right]\, }[/math] (СИ) [math]\displaystyle{ \qquad\vec F = \frac{q^*}{c}\left[\vec{v}^*\times\vec B\right]\, }[/math] (СГС),

где [math]\displaystyle{ q^* }[/math] и [math]\displaystyle{ \vec{v}^* }[/math] — величина заряда и скорость заряженной частицы, играющей в этом контексте роль пробного тела.

Формула для силы Ампера (с которой на элемент [math]\displaystyle{ I^*d\vec{l}^* }[/math] контура с «пробным» током [math]\displaystyle{ I^* }[/math] действует магнитное поле) записывается:

[math]\displaystyle{ d\vec{F} = I^*\left[d\vec{l}^*\times\vec B\right]\, }[/math] (CИ) [math]\displaystyle{ \qquad d\vec{F} = \frac{I^*}{c}\left[d\vec{l}^*\times\vec B\right]\, }[/math] (СГС).

Реально поле [math]\displaystyle{ \vec{B} }[/math] может создаваться неким другим контуром, то есть последняя формула фактически задаёт силу взаимодействия.

Выражения, описывающие действие поля на движущийся заряд (силы Лоренца) или на ток (силы Ампера), для магнитных сред и для вакуума имеют один и тот же вид.