Потенциалы Лиенара — Вихерта

Потенциа́лы Лиена́ра — Ви́херта представляют собой простое лоренц-инвариантное выражение для потенциалов поля, создаваемого точечным электрическим зарядом, движущимся по заданной траектории. Они являются точным решением уравнений Максвелла в пустоте для случая одной частицы, записанным в калибровке Лоренца.

Выражения получены независимо друг от друга Альфредом-Мари Лиенаром (1898) и Эмилем Вихертом (1900).

Определение

Все величины в формулах для потенциалов Лиенара — Вихерта, включая скорость частицы и её радиус-вектор [math]\displaystyle{ \mathbf R }[/math], берутся в момент времени [math]\displaystyle{ t' }[/math], определяемый из уравнения

[math]\displaystyle{ c (t - t') = R. }[/math]

[math]\displaystyle{ t' }[/math] также называют временем запаздывания.

Потенциалы поля в начале координат даются выражениями (в системе СГС)

[math]\displaystyle{ \varphi (t) = \left. \frac{e}{R + {\mathbf v \mathbf R \over c}} \right|_{t=t'}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf A (t) = \left. \frac{e \mathbf v}{c \left( R + {\mathbf v \mathbf R \over c} \right) } \right|_{t=t'}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathbf v }[/math] — скорость частицы, [math]\displaystyle{ \mathbf R }[/math] — её радиус-вектор, [math]\displaystyle{ R = | \mathbf R |, }[/math] [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — скалярный потенциал, [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math] — векторный потенциал магнитного поля, [math]\displaystyle{ e }[/math] — заряд частицы, [math]\displaystyle{ c }[/math] — скорость света.

В более общем случае, когда потенциалы ищутся в произвольной точке P системы отсчёта с радиусом-вектором [math]\displaystyle{ \mathbf r_P }[/math], формулы для потенциалов можно объединить в одно лоренц-инвариантное выражение для 4-потенциала:

[math]\displaystyle{ A^\mu = e\frac{u^\mu}{R_\nu u^\nu}, \qquad R_\lambda R^\lambda =0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ u^\mu }[/math] — 4-скорость частицы в момент времени [math]\displaystyle{ t' }[/math], 4-вектор [math]\displaystyle{ R^\mu = \left[ c(t-t'), \mathbf r_P - \mathbf r' \right], }[/math] величина [math]\displaystyle{ \mathbf r' }[/math] есть радиус-вектор частицы в момент времени [math]\displaystyle{ t' }[/math].

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7..
• Lienard A. M. L’Éclairage électrique 16, 5, 53, 106 (1898).
• Wiechert E. Archives néerl., 2nd series, 5, 549 (1900).