Электрическая ёмкость
| Электрическая ёмкость | |
|---|---|
| [math]\displaystyle{ C }[/math] | |
| Размерность | L-2M-1T4I2 |
| Единицы измерения | |
| СИ | фарад |
| СГС | сантиметр |
Электри́ческая ёмкость — характеристика проводника, мера его способности аккумулировать электрический заряд. В теории электрических цепей ёмкостью называют взаимную ёмкость между двумя проводниками; параметр ёмкостного элемента электрической схемы, представленного в виде двухполюсника. Такая ёмкость определяется как отношение величины электрического заряда к разности потенциалов между этими проводниками[1].
В Международной системе единиц (СИ) ёмкость измеряется в фарадах, в системе СГС — в сантиметрах.
Для одиночного проводника ёмкость равна отношению заряда проводника к его потенциалу в предположении, что все другие проводники бесконечно удалены и что потенциал бесконечно удалённой точки принят равным нулю. В математической форме данное определение имеет вид
- [math]\displaystyle{ C = \frac{Q}{\varphi}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ Q }[/math] — заряд, [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — потенциал проводника.
Ёмкость определяется геометрическими размерами и формой проводника и электрическими свойствами окружающей среды (её диэлектрической проницаемостью) и не зависит от материала проводника. К примеру, ёмкость проводящего шара (или сферы) радиуса R равна (в системе СИ):
- [math]\displaystyle{ C = 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r R, }[/math]
где ε0 — электрическая постоянная, равная 8,854⋅10−12 Ф/м, εr — относительная диэлектрическая проницаемость.
Вывод формулы Известно, что [math]\displaystyle{ \varphi_1 - \varphi_2 = \int_1^2 E\,dl \Rightarrow \varphi = \int_R^\mathcal{\infty} E\,dl = \frac {1} {4 \pi \varepsilon_r \varepsilon_0} \int_R^\mathcal{\infty} \frac {q} {r^2}\,dr = \frac {1} {4 \pi \varepsilon \varepsilon_0} \frac {q} {R}. }[/math] Так как [math]\displaystyle{ C= \frac {q} {\varphi} }[/math], то подставив сюда найденный [math]\displaystyle{ \varphi }[/math], получим, что [math]\displaystyle{ C = 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r R. }[/math] |
Понятие ёмкости также относится к системе проводников, в частности, к системе двух проводников, разделённых диэлектриком или вакуумом, — к конденсатору. В этом случае ёмкость (взаимная ёмкость) этих проводников (обкладок конденсатора) будет равна отношению заряда, накопленного конденсатором, к разности потенциалов между обкладками. Для плоского конденсатора ёмкость равна:
- [math]\displaystyle{ C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac S d, }[/math]
где S — площадь одной обкладки (подразумевается, что обкладки одинаковы), d — расстояние между обкладками, εr — относительная диэлектрическая проницаемость среды между обкладками.
Электрическая ёмкость некоторых систем
Вычисление электрической ёмкости системы требует решение Уравнения Лапласа ∇2φ = 0 с постоянным потенциалом φ на поверхности проводников. Это тривиально в случаях с высокой симметрией. Нет никакого решения в терминах элементарных функций в более сложных случаях.
В квазидвумерных случаях аналитические функции отображают одну ситуацию на другую, электрическая ёмкость не изменяется при таких отображениях. См. также Отображение Шварца — Кристоффеля.
| Вид | Ёмкость | Комментарий |
|---|---|---|
| Плоский конденсатор | [math]\displaystyle{ \frac {\varepsilon S} {4\pi d} }[/math] | S: Площадь d: Расстояние |
| Два коаксиальных цилиндра | [math]\displaystyle{ \frac{\varepsilon l}{\log\left( R_{2}/R_{1}\right)} }[/math] | l : Длина R1: Радиус R[math]\displaystyle{ _2 }[/math]: Радиус |
| Две параллельные проволоки[2] | [math]\displaystyle{ \frac{\varepsilon l}{4\operatorname{arcosh}\left( \frac{d}{2a}\right) }=\frac{ \varepsilon l}{2\log \left( \frac{d}{2a}+\sqrt{\frac{d^{2}}{4a^{2}}-1}\right) } }[/math] | a: Радиус d: Расстояние, d > 2a |
| Проволока параллельна стене[2] | [math]\displaystyle{ \frac{\varepsilon l}{2\operatorname{arcosh}\left(\frac{d}{a}\right) }=\frac{\varepsilon l}{4\log\left(\frac{d}{a}+\sqrt{\frac{d^{2}}{a^{2}}-1}\right) } }[/math] | a: Радиус d: Расстояние, d > a l: Длина |
| Две параллельные копланарные полосы[3] |
[math]\displaystyle{ \varepsilon l \frac{ K\left( \sqrt{1-k^{2}} \right) }{4\pi K\left(k \right) } }[/math] | d: Расстояние w1, w[math]\displaystyle{ _2 }[/math]: Ширина полос km: d/(2wm+d) k2: k1k2 |
| Два концентрических шара | [math]\displaystyle{ \frac{ \varepsilon}{\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}} }[/math] | R1: Радиус R2: Радиус |
| Два шара одинакового радиуса[4][5] | [math]\displaystyle{ \frac{\varepsilon a}{2}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sinh\left(\log\left( D+\sqrt{D^2-1}\right) \right) }{\sinh \left( n\log\left( D+\sqrt{ D^2-1}\right) \right)} }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{\varepsilon a}{2}\left\{ 1+\frac{1}{2D}+\frac{1}{4D^2}+\frac{1}{8D^{3}}+\frac{1}{8D^{4}}+\frac{3}{32D^{5}}+O\left( \frac{1}{D^{6}}\right) \right\} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{\varepsilon a}{2}\left\{\log 2+\gamma -\frac{1}{2}\log\left( \frac{d}{a}-2\right) +O\left( \frac{d}{a}-2\right) \right\} }[/math] |
a : Радиус d: Расстояние, d > 2a D = d/2a γ: Постоянная Эйлера |
| Шар вблизи стены[4] | [math]\displaystyle{ \varepsilon a\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sinh \left( \ln \left( 2D+\sqrt{D^{2}-1}\right) \right) }{\sinh \left( n\ln \left( 2D+\sqrt{ D^{2}-1}\right) \right) } }[/math] | a: Радиус d: Расстояние, d > a D = d/a |
| Шар | [math]\displaystyle{ \varepsilon a }[/math] | a: Радиус |
| Круглый диск[6] | [math]\displaystyle{ \frac{2 \varepsilon a}{\pi} }[/math] | a : Радиус |
| Тонкая прямая проволока, ограниченная длина[7][8][9] |
[math]\displaystyle{ \frac{ \varepsilon l}{2\Lambda }\left\{ 1+\frac{1}{\Lambda }\left( 1-\ln 2\right) +\frac{1}{\Lambda ^{2}}\left[ 1+\left( 1-\ln 2\right) ^{2}-\frac{\pi ^{2}}{12}\right] +O\left(\frac{1}{\Lambda ^{3}}\right) \right\} }[/math] | a: Радиус проволоки l: Длина Λ: ln(l/a) |
Эластанс
Величина обратная ёмкости называется эластанс (эластичность). Единицей эластичности является дараф (daraf), но он не определён в системе физических единиц измерений СИ[10].
См. также
Примечания
- ↑ Шакирзянов Н. Ёмкость электрическая // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — С. 28—29. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
- ↑ 2,0 2,1 Jackson, J. D. Classical Electrodynamics (неопр.). — Wiley, 1975. — С. 80.
- ↑ Binns; Lawrenson. Analysis and computation of electric and magnetic field problems (англ.). — Pergamon Press[англ.], 1973. — ISBN 978-0-08-016638-4.
- ↑ 4,0 4,1 Maxwell, J. C. A Treatise on Electricity and Magnetism (неопр.). — Dover, 1873. — С. 266 ff. — ISBN 0-486-60637-6.
- ↑ Rawlins, A. D. Note on the Capacitance of Two Closely Separated Spheres (англ.) // IMA Journal of Applied Mathematics[англ.] : journal. — 1985. — Vol. 34, no. 1. — P. 119—120. — doi:10.1093/imamat/34.1.119.
- ↑ Jackson, J. D. Classical Electrodynamics (неопр.). — Wiley, 1975. — С. 128, problem 3.3.
- ↑ Maxwell, J. C. On the electrical capacity of a long narrow cylinder and of a disk of sensible thickness (англ.) // Proc. London Math. Soc. : journal. — 1878. — Vol. IX. — P. 94—101. — doi:10.1112/plms/s1-9.1.94.
- ↑ Vainshtein, L. A. Static boundary problems for a hollow cylinder of finite length. III Approximate formulas (англ.) // Zh. Tekh. Fiz. : journal. — 1962. — Vol. 32. — P. 1165—1173.
- ↑ Jackson, J. D. Charge density on thin straight wire, revisited (неопр.) // Am. J. Phys. — 2000. — Т. 68, № 9. — С. 789—799. — doi:10.1119/1.1302908. — .
- ↑ Тензорный анализ сетей, 1978, с. 509.
Литература
- Боргман И. И.,. Электроёмкость // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- Савельев И.В. Глава X. Движение заряженных частиц. // Курс общей физики. — 3. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — Т. 2. — С. 87—88. — 496 с. — 220 000 экз.
- Г. Крон. Тензорный анализ сетей. — Москва: Сов. радио, 1978. — 720 с.