K-теория

K-теория — математическая теория, изучающая кольца, порождённые векторными расслоениями над топологическими пространствами или схемами. В алгебраической топологии эта обобщённая теория когомологий называется топологической K-теорией. В алгебре и алгебраической геометрии соответствующий раздел называется алгебраической K-теорией. Также она играет важную роль в операторных алгебрах и её можно рассматривать как теорию определенных видов инвариантов больших матриц.

K-теория предполагает построение семейств K-функторов, переводящих топологические пространства или схемы в соответствующие кольца; эти кольца отражают некоторые аспекты структуры исходных пространств или схем. Как и с функторами в категорию групп, используемой в алгебраической топологии, это функториальное отображение даёт возможность легче вычислить некоторые топологические свойства из отображенных колец, чем из исходных пространств или схем. Примеры результатов, полученных из подхода K-теории, включают теорему Гротендика — Римана — Роха, периодичность Ботта, теорему индекса Атии — Зингера и операции Адамса.

В физике высоких энергий K-теория и, в частности, K-теория c кручением используется в теории струн типа II, где было высказано предположение, что они классифицируют D-браны, напряжённости поля Рамонда — Рамонда, а также некоторые спиноры на обобщенных комплексных многообразиях.

В физике конденсированного состояния K-теория была использована для классификации топологических изоляторов, сверхпроводников и устойчивых поверхностей Ферми.

Конструкция Гротендика

Конструкция Гротендика является необходимым компонентом для построения K-теории. Пусть [math]\displaystyle{ (A,+') }[/math] -- моноид. Обозначим через [math]\displaystyle{ \sim }[/math] следующее отношение эквивалентности на [math]\displaystyle{ A\times A: }[/math]

[math]\displaystyle{ (a_1, a_2) \sim (b_1, b_2) }[/math]

если существует [math]\displaystyle{ c \in A, }[/math] такое что [math]\displaystyle{ a_1 +' b_2 +' c = a_2 +' b_1 +' c. }[/math] Тогда множество [math]\displaystyle{ G(A) = A\times A/\sim }[/math] имеет структуру группы [math]\displaystyle{ (G(A),+) }[/math], где:

[math]\displaystyle{ [(a_1, a_2)] + [(b_1, b_2)] = [(a_1 + ' b_1, a_2 + ' b_2)] }[/math]

Классы эквивалентности в этой группе следует рассматривать как формальные разности элементов в абелевом моноиде.

Чтобы лучше понять эту группу, рассмотрим некоторые классы эквивалентности абелева моноида [math]\displaystyle{ (A,+) }[/math]. Обозначим единицу моноида как [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. Во-первых, [math]\displaystyle{ (0,0) \sim (n,n) }[/math] для любого [math]\displaystyle{ n\in A }[/math], так как мы можем положить [math]\displaystyle{ c = 0 }[/math] и применить равенство из соотношения эквивалентности, чтобы получить [math]\displaystyle{ n = n }[/math]. Это означает

[math]\displaystyle{ [(a, b)] + [(b, a)] = [(a + b, a + b)] = 0 }[/math]

следовательно, у нас есть аддитивный обратный для каждого элемента в [math]\displaystyle{ G(A) }[/math]. Поэтому на классы эквивалентности [math]\displaystyle{ [(a,b)]\in G(A) }[/math] можно смотреть как на формальные разности [math]\displaystyle{ a-b }[/math]. Другим полезным наблюдением является инвариантность классов эквивалентности при масштабировании:

[math]\displaystyle{ (a, b) \sim (a + k, b + k) }[/math] для всех [math]\displaystyle{ k \in A }[/math]

Конструкцию Гротендика можно рассматривать как функтор [math]\displaystyle{ G:\mathbf{AbMon}\to\mathbf{AbGrp} }[/math]. Он сопряжён слева по отношению к соответствующему забывающему функтору [math]\displaystyle{ U:\mathbf{AbGrp}\to\mathbf{AbMon}. }[/math] Другими словами, если [math]\displaystyle{ A }[/math] -- абелев моноид, [math]\displaystyle{ B }[/math] -- абелева группа, то каждому гомоморфизму абелевых моноидов [math]\displaystyle{ \phi:A \to U(B) }[/math] можно сопоставить единственный гомоморфизм групп [math]\displaystyle{ G(A) \to B }[/math].

Наглядным примером для рассмотрения является абелев моноид [math]\displaystyle{ \N }[/math] -- множество натуральных чисел. Мы можем видеть, что [math]\displaystyle{ G((\N,+)) = (\Z,+) }[/math]. Для любой пары [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] мы можем найти минимальный представитель [math]\displaystyle{ (a',b') }[/math], используя инвариантность при масштабировании. Например,

[math]\displaystyle{ (4,6) \sim (3,5) \sim (2,4) \sim (1,3) \sim (0,2) }[/math]

Вообще, если мы положим [math]\displaystyle{ k = \min\{a,b\} }[/math], то найдем, что

[math]\displaystyle{ (a,b) \sim (a-k,b-k) }[/math], которое имеет форму [math]\displaystyle{ (c,0) }[/math] или [math]\displaystyle{ (0,d). }[/math]

Это показывает, что мы можем рассматривать [math]\displaystyle{ (a,0) }[/math] как положительные целые числа, а [math]\displaystyle{ (0,b) }[/math] -- как отрицательные целые числа.

Определения

Существует ряд основных определений K-теории: два из топологии и два из алгебраической геометрии.

Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] -- компактное хаусдорфово топологическое пространство. Обозначим как [math]\displaystyle{ \text{Vect}(X) }[/math] множество конечномерных векторных расслоений над [math]\displaystyle{ X }[/math] с точностью до изоморфизма, и пусть класс изоморфизма векторного расслоения [math]\displaystyle{ \pi:E \to X }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ [E] }[/math]. Так как классы изоморфизма векторных расслоений ведут себя хорошо по отношению к прямым суммам, мы можем определить прямую сумму двух элементов [math]\displaystyle{ \text{Vect}(X) }[/math] как

[math]\displaystyle{ [E]\oplus[E'] =[E\oplus E'] }[/math]

Ясно, что [math]\displaystyle{ (\text{Vect}(X),\oplus) }[/math] является абелевым моноидом, где единица задается тривиальным векторным расслоением [math]\displaystyle{ \R^0\times X \to X }[/math]. Тогда мы сможем применить конструкцию Гротендика, чтобы получить абелеву группу из этого абелева моноида. Эта группа называется К-теорией [math]\displaystyle{ X }[/math] и обозначается [math]\displaystyle{ K^0(X) }[/math].

Теорема Серра—Cвана позволяет дать альтернативное описание векторных расслоений как проективных модулей над кольцом [math]\displaystyle{ C^0(X;\Complex) }[/math] непрерывных комплекснозначных функций на [math]\displaystyle{ X. }[/math] Затем их можно отождествить с идемпотентными матрицами в некотором кольце матриц [math]\displaystyle{ M_{n\times n}(C^0(X;\Complex)) }[/math]. Мы можем определить классы эквивалентности идемпотентных матриц и образовать абелев моноид [math]\displaystyle{ \textbf{Idem}(X) }[/math]. Его конструкция Гротендика также называется [math]\displaystyle{ K^0(X) }[/math].

В алгебраической геометрии та же конструкция может быть применена к алгебраическим векторным расслоениям над гладкими схемами. Также есть альтернативная конструкция для любой нётеровой схемы [math]\displaystyle{ X }[/math]. А именно, на множестве [math]\displaystyle{ \operatorname{Coh}(X) }[/math] классов изоморфизма когерентных пучков на [math]\displaystyle{ X }[/math] можно ввести отношение эквивалентности: [math]\displaystyle{ [\mathcal{E}] = [\mathcal{E}'] + [\mathcal{E}''] }[/math] если есть короткая точная последовательность

[math]\displaystyle{ 0 \to \mathcal{E}' \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}'' \to 0. }[/math]

Это дает группу [math]\displaystyle{ K_0(X) }[/math], которая изоморфна [math]\displaystyle{ K^0(X) }[/math], если схема [math]\displaystyle{ X }[/math] гладкая. На группе [math]\displaystyle{ K_0(X) }[/math] также есть структура кольца, определяемая как

[math]\displaystyle{ [\mathcal{E}]\cdot[\mathcal{E}'] = \sum(-1)^k \left [\operatorname{Tor}_k^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{E}, \mathcal{E}') \right ]. }[/math]

Используя теорему Гротендика — Римана — Роха, мы имеем, что

[math]\displaystyle{ \operatorname{ch} : K_0(X)\otimes \Q \to A(X)\otimes \Q }[/math]

является изоморфизмом колец. Следовательно, мы можем использовать [math]\displaystyle{ K_0(X) }[/math] для теории пересечений.

Ранняя история

Можно сказать, что эта тема начинается с Александра Гротендика (1957), который использовал его для формулировки своей теоремы Гротендика — Римана — Роха. Название "K-теория" происходит от немецкого "Klasse" ("класс"). Гротендик исследовал когерентные пучки на алгебраическом многообразии "X". Вместо того, чтобы работать непосредственно с пучками, он определил группу, используя классы изоморфизма пучков как образующие, с соотношением, которое идентифицирует любое расширение двух пучков с их суммой. Получившаяся группа называется " K (X)", когда рассматриваются только локально свободные пучки, или "G (X)", когда все пучки когерентные. Любая из этих двух конструкций называется группой Гротендика "K (X)" имеет когомологическое поведение и "G (X)" имеет гомологическое поведение.

Если " X " - гладкое многообразие, то эти две группы одинаковы. Если это гладкое аффинное многообразие, то все расширения локально свободных пучков расщепляются, таким образом, у группы есть альтернативное определение.

В топологии, применяя ту же конструкцию к векторным расслоениям, Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух определили "K(X)" для топологического пространства "X" в 1959 году и используя теорему о периодичности Ботта они сделали ее основой расширенной теории когомологий. Это сыграло важную роль во втором доказательстве теоремы Атьи — Зингера об индексе (около 1962 года). Кроме того, этот подход привел к некоммутативной K-теории для C*-алгебр.

Уже в 1955 году Жан-Пьер Серр использовал параллель между векторными расслоениями и проективными модулями для формулировки гипотезы Серра, которая утверждает, что каждый конечно порожденный проективный модуль над кольцом многочленов является свободным; это утверждение оказалось верным, но не было доказано лишь 20 лет спустя. (Теорема Серра — Свана является еще одним аспектом этой аналогии.)

Дальнейшее развитие

Другим историческим источником алгебраической K-теории была работа Дж. Г. К. Уайтхеда и соавторов о том, что позже стало известно как кручение Уайтхеда.

Затем последовал период, в течение которого были даны различные частичные определения "высших функторов K-теории". Наконец, два полезных и эквивалентных определения были даны Даниэлем Квилленом с использованием теории гомотопий в 1969 и 1972 гг. Вариант был также дан Фридхельмом Вальдхаузеном для изучения "алгебраической K-теории пространств", которая связана с изучением псевдоизотопий. Много современных исследований высшей K-теории связаны с алгебраической геометрией и изучением мотивных когомологий.

Соответствующие конструкции, задействующие вспомогательную квадратичную форму, получили название L-теории. Это главный инструмент хирургии Морса.

В теории струн, классификация К-теории натяжений полей Рамонда — Рамонда и зарядов стабильных D-бран впервые была предложена в 1997 году.

Примеры

• Самый простой пример группы Гротендика — это группа Гротендика точки [math]\displaystyle{ \text{Spec}(\mathbb{F}) }[/math] для поля [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. Поскольку векторное расслоение над этим пространством является просто конечномерным векторным пространством, который является свободным объектом в категории когерентных пучков (следовательно, и проективным), моноид классов изоморфизма является [math]\displaystyle{ \N }[/math], в соответствии с размерностью векторного пространства. Соответствующая группа Гротендика равна [math]\displaystyle{ \Z }[/math].
• Одним из важных свойств группы Гротендика нётеровой схемы [math]\displaystyle{ X }[/math] является то, что [math]\displaystyle{ K(X) = K(X_{\text{red}}) }[/math]. Следовательно, группа Гротендика любой артиновой [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]-алгебры равна [math]\displaystyle{ \Z }[/math].
• Еще одной важной формулой для группы Гротендика является формула проективного расслоения: если [math]\displaystyle{ \mathcal{E} }[/math] -- векторное расслоение ранга "r" над нётеровой схемой [math]\displaystyle{ X }[/math], то группа Гротендика проективного расслоения [math]\displaystyle{ \mathbb{P}(\mathcal{E})=\operatorname{Proj}(\operatorname{Sym}^\bullet(\mathcal{E}^\vee)) }[/math] -- это свободный [math]\displaystyle{ K(X) }[/math] -модуль ранга "r" с базисом [math]\displaystyle{ 1,\xi,\dots,\xi^{n-1} }[/math]. Эта формула позволяет вычислить группу Гротендика [math]\displaystyle{ \mathbb{P}^n_\mathbb{F} }[/math].

Приложения

Виртуальные расслоения

Одним из полезных применений группы Гротендика является определение виртуальных векторных расслоений. Например, если у нас есть вложение гладких пространств [math]\displaystyle{ Y \hookrightarrow X }[/math], то есть короткая точная последовательность

[math]\displaystyle{ 0 \to \Omega_Y \to \Omega_X|_Y \to C_{Y/X} \to 0 }[/math]

где [math]\displaystyle{ C_{Y/X} }[/math] -- конормальный пучок [math]\displaystyle{ Y }[/math] в [math]\displaystyle{ X }[/math]. Если у нас есть особое пространство [math]\displaystyle{ Y }[/math], вложеноое в гладкое пространство [math]\displaystyle{ X }[/math], мы определяем виртуальный конормальный пучок как

[math]\displaystyle{ [\Omega_X|_Y] - [\Omega_Y] }[/math]

Другое полезное применение виртуальных расслоений связано с определением виртуального касательного расслоения для пересечения пространств: пусть [math]\displaystyle{ Y_1,Y_2\subset X }[/math] -- проективные подмногообразия гладкого проективного многообразия. Тогда мы можем определить виртуальное касательное расслоение их пересечения [math]\displaystyle{ Z = Y_1\cap Y_2 }[/math] как

[math]\displaystyle{ [T_Z]^{vir} = [T_{Y_1}]|_Z + [T_{Y_2}]|_Z - [T_{X}]|_Z. }[/math]

Концевич использует эту конструкцию в одной из своих работ.

Характеры Чженя

Классы Чженя могут быть использованы для построения гомоморфизма колец из топологической K-теории пространства в (пополнение) его кольца рациональных когомологий. Символ Чженя "ch" линейного расслоения "L" определяется формулой

[math]\displaystyle{ \operatorname{ch}(L) = \exp(c_{1}(L)) := \sum_{m=0}^\infty \frac{c_1(L)^m}{m!}. }[/math]

В более общем случае, если [math]\displaystyle{ V = L_1 \oplus \dots \oplus L_n }[/math] является прямой суммой линейных расслоений, с первыми классами Чженя [math]\displaystyle{ x_i = c_1(L_i), }[/math] характер Чженя определяется аддитивно

[math]\displaystyle{ \operatorname{ch}(V) = e^{x_1} + \dots + e^{x_n} :=\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!}(x_1^m + \dots + x_n^m). }[/math]

Символ Чженя полезен отчасти потому, что он облегчает вычисление класса Чженя тензорного произведения. Символ Чженя используется в формулировки теоремы Хирцебруха — Римана — Роха.

Эквивариантная K-теория

Эквивариантная алгебраическая K-теория является алгебраической K-теорией, связанной с категорией [math]\displaystyle{ \operatorname{Coh}^G(X) }[/math] эквивариантных когерентных пучков на алгебраической схеме [math]\displaystyle{ X }[/math] с действием линейной алгебраической группы [math]\displaystyle{ G }[/math], через Q-конструкцию Квиллена; таким образом, по определению,

[math]\displaystyle{ K_i^G(X) = \pi_i(B^+ \operatorname{Coh}^G(X)). }[/math]

В частности, [math]\displaystyle{ K_0^G(C) }[/math] - это Гротендиковская группа [math]\displaystyle{ \operatorname{Coh}^G(X) }[/math]. Эта теория была разработана Р. У. Томасоном в 1980-х годах. В частности, он доказал эквивариантные аналоги фундаментальных теорем, таких как теорема локализации.

См. также

• Периодичность Ботта
• КК-теория
• КР-теория
• Список когомологических теорий
• Алгебраическая К-теория
• Топологическая К-теория
• Операторная К-теория
• Теорема Гротендика — Римана — Роха

Литература

• Атья М. Лекции по K-теории. — М.: Иностранная литература, 1967. — 261 с.

Ссылки

• Michael Atiyah. K-theory. — 2nd. — Addison-Wesley, 1989. — (Advanced Book Classics). — ISBN 978-0-201-09394-0.
• Handbook of K-Theory / Friedlander, Eric; Grayson, Daniel. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005. — ISBN 978-3-540-30436-4. — doi:10.1007/978-3-540-27855-9.
• Park, Efton. Complex Topological K-Theory. — Cambridge University Press, 2008. — Т. 111. — (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 978-0-521-85634-8.
• Swan, R. G.. Algebraic K-Theory. — Springer, 1968. — Т. 76. — (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 3-540-04245-8.
• Karoubi, Max. K-theory: an introduction. — Springer-Verlag, 1978. — (Classics in Mathematics). — ISBN 0-387-08090-2. — doi:10.1007/978-3-540-79890-3.
• Karoubi, Max (2006), K-theory. An elementary introduction, arΧiv:math/0602082. 
• Hatcher, Allen Vector Bundles & K-Theory (неопр.) (2003).
• Weibel, Charles. The K-book: an introduction to algebraic K-theory (англ.). — American Math Society, 2013. — Vol. 145. — (Grad. Studies in Math). — ISBN 978-0-8218-9132-2.

Источники

• Grothendieck-Riemann-Roch
• Max Karoubi's Page
• K-theory preprint archive