C*-алгебра
C*-алгебра — банахова алгебра с инволюцией, удовлетворяющей свойствам сопряжённого оператора.
Частным случаем С*-алгебры является комплексная алгебра над полем A линейных непрерывных операторов на комплексном гильбертовом пространстве с двумя дополнительными свойствами:
- А является топологически замкнутым множеством в топологии операторной нормы.
- А замкнуто относительно операции взятия сопряжений операторов.
Другой важный класс не-гильбертовых С*-алгебр составляют алгебры непрерывных функций [math]\displaystyle{ C_0(X) }[/math] на пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math].
C*-алгебры впервые были рассмотрены главным образом с целью использования их в квантовой механике для моделирования алгебр физически наблюдаемых объектов. Это направление исследований началось с матричной квантовой механики Вернера Гейзенберга и в более математически развитой форме с работ Паскуаля Йордана около 1933 года. Впоследствии Джон фон Нейман попытался установить общую структуру этих алгебр, создав серию работ о кольцах операторов. В этих работах рассматривался особый класс C*-алгебр, которые теперь известны как алгебры фон Неймана.
Примерно в 1943 году Израиль Гельфанд и Марк Наймарк, используя понятие вполне регулярных колец, дали теоретическую характеристику C*-алгебр[1].
C*-алгебры в настоящее время являются важным инструментом в теории унитарных представлений локально компактных групп, а также используются в алгебраических формулировках квантовой механики. Другой активной областью исследований является классификация или определение степени возможной классификации для сепарабельных простых ядерных C*-алгебр.
Формальное определение
C*-алгеброй называют[2] банахову алгебру A над полем комплексных чисел, для всех элементов которой [math]\displaystyle{ x \in A }[/math] определено отображение [math]\displaystyle{ x \mapsto x^* }[/math] со следующими свойствами:
- Это отображение — инволюция для каждого x в A:
- [math]\displaystyle{ x^{**} = (x^*)^* = x }[/math]
- Для всех x, y в A:
- [math]\displaystyle{ (x + y)^* = x^* + y^* }[/math]
- [math]\displaystyle{ (xy)^* = y^*x^* }[/math]
- Для всякого комплексного числа [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] в [math]\displaystyle{ \C }[/math] и всякого x в A:
- [math]\displaystyle{ (\lambda x)^* = \overline{\lambda} x^* }[/math]
- Для всех x в A:
- [math]\displaystyle{ \|x^* x \| = \|x\|\|x^*\| }[/math]
Примечание. Первые три тождества говорят, что A является *-алгеброй. Последнее тождество называется C*-тождеством и эквивалентно формуле
[math]\displaystyle{ \|xx^*\| = \|x\|^2 }[/math]
С*-тождество является очень сильным требованием. Например, вместе с формулой спектрального радиуса из него следует, что C*-норма однозначно определяется алгебраической структурой:
- [math]\displaystyle{ \|x\|^2 = \|x^* x\| = \sup\{|\lambda| : x^* x - \lambda \,1\ \text{ не обратимый} \}. }[/math]
Ограниченный оператор [math]\displaystyle{ \pi }[/math] : A [math]\displaystyle{ \to }[/math] B между C*-алгебрами A и B называется *-гомоморфизмом, если
- для всех x и y из A выполняется
- [math]\displaystyle{ \pi(x y) = \pi(x) \pi(y) }[/math]
- для всех x из A выполняется
- [math]\displaystyle{ \pi(x^*) = \pi(x)^* }[/math]
В случае C*-алгебр, любой *-гомоморфизм [math]\displaystyle{ \pi }[/math] между C*-алгебрами является сжимающим, то есть ограниченным нормой [math]\displaystyle{ \le 1 }[/math]. Кроме того, инъективный *-гомоморфизм между C*-алгебрами является изометрическим. Эти свойства являются следствиями C*-тождества.
Биективный *-гомоморфизм [math]\displaystyle{ \pi }[/math] называется C*-изоморфизмом, и в этом случае А и B называются изоморфными.
Примечания
- ↑ I. Gelfand, M. Neumark. On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space, Матем. сб., 12(54):2 (1943), 197—217.
- ↑ Данное определение впервые приведено в статье I. Gelfand, M. Neumark. On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space, Матем. сб., 12(54):2 (1943), 197—217.
Ссылки
- Дж. Мёрфи. C*-алгебры и теория операторов = C*-Algebras and Operator Theory. — М.: Факториал, 1997. — ISBN 5-88688-016-X.
- Arveson W.[англ.]. An Invitation to C*-Algebra (англ.). — New York: Springer-Verlag, 1976. — Vol. 13 «Graduate texts in mathematics». — 106 p. — ISBN 0-387-90176-0.
- Connes, Alain, Non-commutative geometry, ISBN 0-12-185860-X, <https://archive.org/details/noncommutativege0000conn>
- Dixmier, Jacques (1969), Les C*-algebres et leurs representations, Gauthier-Villars, ISBN 0-7204-0762-1, <https://archive.org/details/calgebras0000dixm>
- Doran, Robert S. & Belfi, Victor A. (1986), Characterizations of C*-algebras: The Gelfand-Naimark Theorems, CRC Press, ISBN 978-0-8247-7569-8
- Emch, G. (1972), Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-23900-3
- A. I. Shtern (2001), C* algebra, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Sakai, S. (1971), C*-algebras and W*-algebras, Springer, ISBN 3-540-63633-1
- Segal, Irving (1947), Irreducible representations of operator algebras, Bulletin of the American Mathematical Society Т. 53 (2): 73—88, DOI 10.1090/S0002-9904-1947-08742-5