Перейти к содержанию

C*-алгебра

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

C*-алгебра — банахова алгебра с инволюцией, удовлетворяющей свойствам сопряжённого оператора.

Частным случаем С*-алгебры является комплексная алгебра над полем A линейных непрерывных операторов на комплексном гильбертовом пространстве с двумя дополнительными свойствами:

Другой важный класс не-гильбертовых С*-алгебр составляют алгебры непрерывных функций [math]\displaystyle{ C_0(X) }[/math] на пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math].

C*-алгебры впервые были рассмотрены главным образом с целью использования их в квантовой механике для моделирования алгебр физически наблюдаемых объектов. Это направление исследований началось с матричной квантовой механики Вернера Гейзенберга и в более математически развитой форме с работ Паскуаля Йордана около 1933 года. Впоследствии Джон фон Нейман попытался установить общую структуру этих алгебр, создав серию работ о кольцах операторов. В этих работах рассматривался особый класс C*-алгебр, которые теперь известны как алгебры фон Неймана.

Примерно в 1943 году Израиль Гельфанд и Марк Наймарк, используя понятие вполне регулярных колец, дали теоретическую характеристику C*-алгебр[1].

C*-алгебры в настоящее время являются важным инструментом в теории унитарных представлений локально компактных групп, а также используются в алгебраических формулировках квантовой механики. Другой активной областью исследований является классификация или определение степени возможной классификации для сепарабельных простых ядерных C*-алгебр.

Формальное определение

C*-алгеброй называют[2] банахову алгебру A над полем комплексных чисел, для всех элементов которой [math]\displaystyle{ x \in A }[/math] определено отображение [math]\displaystyle{ x \mapsto x^* }[/math] со следующими свойствами:

  • Это отображение — инволюция для каждого x в A:
[math]\displaystyle{ x^{**} = (x^*)^* = x }[/math]
  • Для всех x, y в A:
[math]\displaystyle{ (x + y)^* = x^* + y^* }[/math]
[math]\displaystyle{ (xy)^* = y^*x^* }[/math]
  • Для всякого комплексного числа [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] в [math]\displaystyle{ \C }[/math] и всякого x в A:
[math]\displaystyle{ (\lambda x)^* = \overline{\lambda} x^* }[/math]
  • Для всех x в A:
[math]\displaystyle{ \|x^* x \| = \|x\|\|x^*\| }[/math]

Примечание. Первые три тождества говорят, что A является *-алгеброй. Последнее тождество называется C*-тождеством и эквивалентно формуле

[math]\displaystyle{ \|xx^*\| = \|x\|^2 }[/math]

С*-тождество является очень сильным требованием. Например, вместе с формулой спектрального радиуса из него следует, что C*-норма однозначно определяется алгебраической структурой:

[math]\displaystyle{ \|x\|^2 = \|x^* x\| = \sup\{|\lambda| : x^* x - \lambda \,1\ \text{ не обратимый} \}. }[/math]


Ограниченный оператор [math]\displaystyle{ \pi }[/math] : A [math]\displaystyle{ \to }[/math] B между C*-алгебрами A и B называется *-гомоморфизмом, если

  • для всех x и y из A выполняется
[math]\displaystyle{ \pi(x y) = \pi(x) \pi(y) }[/math]
  • для всех x из A выполняется
[math]\displaystyle{ \pi(x^*) = \pi(x)^* }[/math]

В случае C*-алгебр, любой *-гомоморфизм [math]\displaystyle{ \pi }[/math] между C*-алгебрами является сжимающим, то есть ограниченным нормой [math]\displaystyle{ \le 1 }[/math]. Кроме того, инъективный *-гомоморфизм между C*-алгебрами является изометрическим. Эти свойства являются следствиями C*-тождества.

Биективный *-гомоморфизм [math]\displaystyle{ \pi }[/math] называется C*-изоморфизмом, и в этом случае А и B называются изоморфными.

Примечания

  1. I. Gelfand, M. Neumark. On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space, Матем. сб., 12(54):2 (1943), 197—217.
  2. Данное определение впервые приведено в статье I. Gelfand, M. Neumark. On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space, Матем. сб., 12(54):2 (1943), 197—217.

Ссылки