CW-комплекс

CW-комплекс — тип топологического пространства с дополнительной структурой (разбиением на клетки), введённый Уайтхедом для удовлетворения нужд теории гомотопий. В литературе на русском языке употребляются также названия клеточное пространство, клеточное разбиение и клеточный комплекс. Класс клеточных комплексов является более широким, чем класс симплициальных комплексов, но в то же время сохраняет комбинаторную природу, которая позволяет производить эффективные вычисления.

Определения

Открытая n-мерная клетка — топологическое пространство, гомеоморфное открытому n-мерному шару (в частности, нульмерная клетка — это пространство-синглетон). CW-комплекс — хаусдорфово топологическое пространство X, представленное в виде объединения открытых клеток таким образом, что для каждой открытой n-мерной клетки существует непрерывное отображение f из замкнутого n-мерного шара в X, ограничение которого на внутренность шара является гомеоморфизмом на эту клетку (характеристическое отображение). При этом предполагаются выполненными два свойства:

• (С) Граница каждой клетки содержится в объединении конечного числа клеток меньших размерностей;
• (W) Подмножество пространства X замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто его пересечение с замыканием каждой клетки.

Обозначения C и W происходят от английских слов closure-finiteness и weak topology.

Размерность клеточного комплекса определяется как верхняя грань размерностей его клеток. n-й остов клеточного комплекса — это объединение всех его клеток, размерность которых не превосходит n, стандартные обозначения для n-го остова клеточного комплекса X — Xⁿ или sk_n X. Подмножество клеточного комплекса называется подкомплексом, если оно замкнуто и состоит из целых клеток; В частности, любой остов комплекса является его подкомплексом.

Любой CW-комплекс можно построить индуктивно, посредством следующей процедуры:

• начинаем с дискретного множества [math]\displaystyle{ X^0 }[/math], точки которого считаем нульмерными клетками;
• по индукции образуем n-й остов из (n − 1)-го, приклеивая к нему n-мерные клетки посредством произвольных непрерывных отображений [math]\displaystyle{ \varphi_\alpha: S^{n-1}\to X^{n-1}. }[/math] Другими словами, пространство [math]\displaystyle{ X^n }[/math] — это факторпространство несвязного объединения [math]\displaystyle{ X^{n-1} }[/math] и набора шаров [math]\displaystyle{ D_\alpha }[/math] по отношению эквивалентности [math]\displaystyle{ x\sim \varphi_\alpha(x), }[/math] если [math]\displaystyle{ x\in\partial D_\alpha. }[/math]
• Можно закончить индуктивный процесс на конечном этапе, положив [math]\displaystyle{ X=X^n, }[/math] либо продолжать его бесконечно, положив [math]\displaystyle{ X=\varinjlim X_i }[/math]. Топология прямого предела совпадает со слабой топологией: подмножество [math]\displaystyle{ \varinjlim X_i }[/math] замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто его пересечение с каждым [math]\displaystyle{ X_i. }[/math]

Примеры

• Пространство [math]\displaystyle{ \{re^{2\pi i \theta} : 0 \leq r \leq 1, \theta \in \mathbb Q\} \subset \mathbb C }[/math] гомотопически эквивалентно CW-комплексу (так как оно стягиваемо), но на нём невозможно ввести структуру CW-комплекса (поскольку все CW-комплексы являются локально стягиваемыми).
• Гавайская серьга — пример топологического пространства, гомотопически не эквивалентного никакому CW-комплексу.
• Любой многогранник естественным образом наделяется структурой CW-комплекса, а граф — одномерного CW-комплекса.
• n-мерная сфера допускает клеточную структуру с одной нульмерной клеткой и одной n-мерной клеткой (так как n-мерная сфера гомеоморфна факторпространству n-мерного шара по его границе). Другое клеточное разбиение использует тот факт, что вложение «экватора» [math]\displaystyle{ S^{n-1}\to S^n }[/math] делит сферу на две n-мерных клетки (верхнюю и нижнюю полусферы). По индукции, это позволяет получить клеточное разбиение n-мерной сферы с двумя клетками в каждой размерности от 0 до n, а применение конструкции прямого предела позволяет получить клеточное разбиение сферы [math]\displaystyle{ S^\infty }[/math].
• Вещественное проективное пространство [math]\displaystyle{ \mathbb{R}\mathrm{P}^n }[/math] допускает клеточную структуру с одной клеткой в каждой размерности, а [math]\displaystyle{ \mathbb{C}\mathrm{P}^n }[/math] — с одной клеткой в каждой чётной размерности.
• Грассманиан допускает разбиение на клетки, называемые клетками Шуберта.
• Для любого компактного гладкого многообразия можно построить гомотопически эквивалентный ему CW-комплекс (например, с помощью функции Морса).

Клеточные гомологии

Сингулярные гомологии CW-комплекса можно вычислять с помощью клеточных гомологий, то есть гомологий клеточного цепного комплекса

[math]\displaystyle{ \cdots \to {H_{n + 1}}(X^{n + 1},X^{n}) \to {H_{n}}(X^{n},X^{n - 1}) \to {H_{n - 1}}(X^{n - 1},X^{n - 2}) \to \cdots, }[/math]

где [math]\displaystyle{ X^{-1} }[/math] определяется как пустое множество.

Группа [math]\displaystyle{ {H_{n}}(X^{n},X^{n - 1}) }[/math] является свободной абелевой группой, образующие которой могут быть отождествлены с ориентированными n-мерными клетками CW-комплекса. Граничные отображения строятся следующим образом. Пусть [math]\displaystyle{ e_{n}^{\alpha} }[/math] — произвольная n-мерная клетка [math]\displaystyle{ X, }[/math] [math]\displaystyle{ \chi_{n}^{\alpha}: \partial e_{n}^{\alpha} \cong S^{n - 1} \to X^{n-1} }[/math] — ограничение её характеристического отображения на границу, а [math]\displaystyle{ e_{n - 1}^{\beta} }[/math] — произвольная (n − 1)-мерная клетка. Рассмотрим композицию

[math]\displaystyle{ \chi_{n}^{\alpha \beta}: S^{n - 1} \, \stackrel{\cong}{\longrightarrow} \, \partial e_{n}^{\alpha} \, \stackrel{\chi_{n}^{\alpha}}{\longrightarrow} \, X^{n - 1} \, \stackrel{q}{\longrightarrow} \, X^{n - 1} / \left( X^{n - 1} \setminus e_{n - 1}^{\beta} \right) \, \stackrel{\cong}{\longrightarrow} \, S^{n - 1}, }[/math]

где первое отображение отождествляет [math]\displaystyle{ S^{n - 1} }[/math] с [math]\displaystyle{ \partial e_n^\alpha, }[/math] отображение [math]\displaystyle{ q }[/math] — факторизация, а последнее отображение отождествляет [math]\displaystyle{ X^{n - 1} / \left( X^{n - 1} \setminus e_{n - 1}^{\beta} \right) }[/math] с [math]\displaystyle{ S^{n - 1} }[/math] при помощи характеристического отображения клетки [math]\displaystyle{ e_{n - 1}^{\beta} }[/math]. Тогда граничное отображение

[math]\displaystyle{ d_{n}: {H_{n}}(X_{n},X_{n - 1}) \to {H_{n - 1}}(X_{n - 1},X_{n - 2}) }[/math]

задаётся формулой

[math]\displaystyle{ {d_{n}}(e_{n}^{\alpha}) = \sum_{\beta} \deg \left( \chi_{n}^{\alpha \beta} \right) e_{n - 1}^{\beta}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \deg \left( \chi_{n}^{\alpha \beta} \right) }[/math] — степень отображения [math]\displaystyle{ \chi_{n}^{\alpha \beta} }[/math] и сумма берётся по всем (n − 1)-мерным клеткам [math]\displaystyle{ X }[/math].

В частности, если в клеточном комплексе нет двух клеток, размерности которых отличаются на единицу, то все граничные отображения зануляются и группы гомологий являются свободными. Например, [math]\displaystyle{ {H_{n}}(\mathbb{C}\mathrm{P}^n,\mathbb Z) = \mathbb Z }[/math] для чётных [math]\displaystyle{ n }[/math] и нулю для нечётных.

Свойства

Гомотопическая категория CW-комплексов, по мнению ряда экспертов, является лучшим вариантом для построения теории гомотопии. Одно из «хороших» свойств CW-комплексов — теорема Уайтхеда (слабая гомотопическая эквивалентность между CW-комплексами является гомотопической эквивалентностью). Для любого топологического пространства существует слабо гомотопически эквивалентный ему CW-комплекс. Другой полезный результат состоит в том, что представимые функторы в гомотопической категории CW-комплексов обладают простой характеризацией в категорных терминах (теорема Брауна о представимости). Цилиндр, конус и.надстройка над CW-комплексом обладают естественной клеточной структурой.

С другой стороны, произведение CW-комплексов с естественным разбиением на клетки не всегда является CW-комплексом — топология произведения может не совпадать со слабой топологией, если оба комплекса не являются локально компактными. Однако топология произведения в категории компактно порождённых пространств совпадает со слабой топологией и всегда задаёт CW-комплекс. Пространство функций Hom(X, Y) с компактно-открытой топологией, вообще говоря, не является CW-комплексом, однако, согласно теореме Джона Милнора, гомотопически эквивалентно CW-комплексу при условии компактности X.

Накрытие CW-комплекса X может быть наделено структурой CW-комплекса таким образом, что его клетки гомеоморфно отображаются на клетки X.

Конечные CW-комплексы (комплексы с конечным числом клеток) компактны. Любое компактное подмножество CW-комплекса содержится в конечном подкомплексе.

Литература

• J. H. C. Whitehead. Combinatorial homotopy. I. // Bull. Amer. Math. Soc.. — 1949. — Vol. 55. — P. 213–245.
• J. H. C. Whitehead. Combinatorial homotopy. II. // Bull. Amer. Math. Soc.. — 1949. — Vol. 55. — P. 453–496.
• Хатчер, А. Алгебраическая топология / Пер. с англ. В. В. Прасолова под ред. Т. Е. Панова. — М.: МЦНМО, 2011. — 688 с. — ISBN 978-5-94057-748-5.
• А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989. — 528 с.