Стягиваемое пространство

Стягиваемое пространство — топологическое пространство, гомотопически эквивалентное точке. Это условие равносильно тому, что тождественное отображение на [math]\displaystyle{ X }[/math] гомотопно постоянному.

Локально стягиваемое пространство — топологическое пространство, каждая точка которого обладает стягиваемой окрестностью.

Свойства

Пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] стягиваемо тогда и только тогда, когда существует [math]\displaystyle{ x_0 \in X }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ \{x_0\} }[/math] — деформационный ретракт пространства [math]\displaystyle{ X }[/math].

Стягиваемые пространства всегда односвязны; обратное утверждение, в общем случае, не имеет места, стягиваемость — более сильное ограничение, чем односвязность.

Всякое непрерывное отображение стягиваемых пространств является гомотопической эквивалентностью. Два любых непрерывных отображения произвольного пространства в стягиваемое гомотопны; притом если два любых непрерывных отображения в [math]\displaystyle{ X }[/math] гомотопны, то [math]\displaystyle{ X }[/math] — стягиваемое пространство.

Конус [math]\displaystyle{ \mathrm{C}X }[/math] для данного пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] — стягиваемое пространство, таким образом, любое пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] может быть вложено в стягиваемое, что, в свою очередь, свидетельствует о том, что не всякое подпространство стягиваемого пространства стягиваемо. Кроме того, [math]\displaystyle{ X }[/math] стягиваемо тогда и только тогда, когда существует ретракция [math]\displaystyle{ \mathrm{C}X \to X }[/math].

Примеры и контрпримеры

Стягиваемы [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерное вещественное пространство [math]\displaystyle{ \R^n }[/math], любое выпуклое подмножество евклидова пространства, в частности — [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерный шар.

Сфера в бесконечномерном гильбертовом пространстве стягиваема, но при этом [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерные евклидовы сферы нестягиваемы. Всякое непрерывное отображение [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерной сферы в стягиваемое пространство можно непрерывно продолжить на [math]\displaystyle{ n+1 }[/math]-мерный шар.

Другие примечательные стягиваемые пространства — многообразие Уайтхеда (трёхмерное многообразие, не гомеоморфное [math]\displaystyle{ \R^3 }[/math]), многообразие Мазура (четырёхмерное гладкое многообразие с краем, не диффеоморфное четырёхмерному шару), дом Бинга, шутовской колпак.

Все многообразия и CW-комплексы локально стягиваемы, но не стягиваемы в общем случае.

Литература

• Э. Спеньер. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — С. 39—42. — 680 с.