Слабая гомотопическая эквивалентность

Слабая гомотопическая эквивалентность — отображение между топологическими пространствами индуцирующее изоморфизм гомотопических групп.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] линейно связные пространства. Слабая гомотопическая эквивалентность из [math]\displaystyle{ A }[/math] в [math]\displaystyle{ B }[/math] есть непрерывное отображение [math]\displaystyle{ f:A \to B }[/math] такое, что индуцированные отображения [math]\displaystyle{ f_n:\pi_n (A,a_0) \to \pi_n (B,b_0) }[/math] биективны при всех [math]\displaystyle{ n \ge 1 }[/math] для некоторой (а значит для любой) пары точек [math]\displaystyle{ b_0=f(a_0) }[/math].

Свойства

• Существование слабой гомотопической эквивалентности [math]\displaystyle{ A \to B }[/math], вообще говоря не влечёт существование слабой гомотопической эквивалентности [math]\displaystyle{ B \to A }[/math].

• Изоморфность групп [math]\displaystyle{ \pi_n A }[/math] и [math]\displaystyle{ \pi_n B }[/math] вообще говоря не влечёт существование слабой гомотопической эквивалентности [math]\displaystyle{ A \to B }[/math].

• Любой конечный симплециальный комплекс слабо гомотопически эквивалентен конечному топологическому пространству.