K-пространство (топология)
k-пространство (компактно порождённое пространство) — топологическое пространство, в котором замкнуты все множества, пересечение которых с каждым компактным подмножеством этого пространства замкнуто. Часто к этому добавляют требование хаусдорфовости пространства.
Определение
Топологическое пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] называют k-пространством, если его топология согласована с семейством всех его компактных подпространств, то есть если в нём для каждого подмножества [math]\displaystyle{ A\subset X }[/math] выполнено одно из следующих эквивалентных условий:
- Множество [math]\displaystyle{ A }[/math] замкнуто в [math]\displaystyle{ X }[/math] тогда и только тогда, когда всякое его пересечение [math]\displaystyle{ A\cap K }[/math] с каждым компактным множеством [math]\displaystyle{ K\subset X }[/math] замкнуто в этом множестве [math]\displaystyle{ K }[/math].
- Множество [math]\displaystyle{ A }[/math] открыто в [math]\displaystyle{ X }[/math] тогда и только тогда, когда всякое его пересечение [math]\displaystyle{ A\cap K }[/math] с каждым компактным множеством [math]\displaystyle{ K\subset X }[/math] открыто в этом множестве [math]\displaystyle{ K }[/math].
Часто под k-пространством понимают только хаусдорфовы пространства, удовлетворяющие вышеуказанному определению.
Для хаусдорфовых пространств можно дать следующее эквивалентное определение k-пространства: хаусдорфово пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] является k-пространством, в том и только в том случае, если оно есть образ некоторого локально компактного хаусдорфова пространства при факторном отображении (то есть оно гомеоморфно некоторому факторпространству локально компактного хаусдорфова пространства).
Отображения в k-пространствах
Отображение [math]\displaystyle{ f\colon X \to Y }[/math] k-пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] в произвольное топологическое пространство [math]\displaystyle{ Y }[/math] непрерывно в том и только в том случае, если всякое сужение этого отображения [math]\displaystyle{ f|_K }[/math] на компактное множество [math]\displaystyle{ K }[/math] непрерывно.
Непрерывное отображение [math]\displaystyle{ f\colon X \to Y }[/math] произвольного топологического пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] в k-пространство [math]\displaystyle{ Y }[/math] замкнуто (открыто, факторно) в том и только в том случае, если для каждого компактного подмножества [math]\displaystyle{ K }[/math] из области значений [math]\displaystyle{ Y }[/math] сужение этого отображения [math]\displaystyle{ f_K\colon f^{-1} (K) \to K }[/math] замкнуто (соответственно открыто, факторно).
Если даны два факторных отображения [math]\displaystyle{ f_1\colon X_1 \to Y_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ f_2\colon X_2 \to Y_2 }[/math], у которых области определения [math]\displaystyle{ X_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ X_2 }[/math] и произведение областей значений [math]\displaystyle{ Y_1\times Y_2 }[/math] являются k-пространствами, то декартово произведение этих отображений [math]\displaystyle{ f_1 \times f_2 \colon X_1\times X_2 \to Y_1\times Y_2 }[/math] является факторным отображением.
Сохранение при операциях
Каждое открытое, а также каждое замкнутое подпространство хаусдорфова k-пространства является k-пространством. Однако произвольное подпространство хаусдорфова k-пространства может не быть k-пространством.
Сумма семейства топологических пространств является k-пространством тогда и только тогда, когда все пространства из этого семейства являются k-пространствами.
Произведение хаусдорфова k-пространства и локально компактного хаусдорфова пространства является k-пространством. При этом произведение двух k-пространств в общем случае не является k-пространством.
Хаусдорфов образ хаусдорфова k-пространства при факторном (в частности, при открытом или замкнутом) отображении является k-пространством. При этом образ хаусдорфова k-пространства при произвольном непрерывном отображении может не быть k-пространством, даже если он совершенно нормален.
Связь с другими классами пространств
Всякое полное по Чеху пространство (в частности любое локально компактное хаусдорфово пространство, а следовательно и любое топологическое многообразие) является k-пространством.
Каждое секвенциальное пространство (в частности любое пространство с первой аксиомой счётности, а следовательно и любое метрическое пространство) является k-пространством.
Всякое пространство точечно счётного типа является k-пространством.
Каждый CW-комплекс является k-пространством.