Компактно-открытая топология

Компактно-открытая топология — естественная топология на пространстве [math]\displaystyle{ C(X,Y) }[/math] — пространстве непрерывных отображений между двумя топологическими пространствами [math]\displaystyle{ X\to Y }[/math], предбазу которой образуют множества отображений вида

[math]\displaystyle{ W_{K,U}=\{f\in C(X,Y)|f(K)\subset U\}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ U\subset Y }[/math] — открытое множество, а [math]\displaystyle{ K\subset X }[/math] — компактное множество.

Свойства

• Если [math]\displaystyle{ X }[/math] компактно, а [math]\displaystyle{ Y }[/math] метрическое пространство, то сходимость последовательности функций [math]\displaystyle{ f_n }[/math] в [math]\displaystyle{ C(X,Y) }[/math] означает равномерную сходимость.
  • Более общо: если [math]\displaystyle{ Y }[/math] метрическое пространство, то сходимость последовательности функций [math]\displaystyle{ f_n }[/math] в [math]\displaystyle{ C(X,Y) }[/math] означает равномерную сходимость сужений [math]\displaystyle{ f_n|K }[/math] для любого компактного множества [math]\displaystyle{ K\subset X }[/math].

Литература

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии