Пропорциональность

Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остаётся неизменным.

Равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин в математике называется пропорцией.

Для обозначения пропорциональных величин используется символ [math]\displaystyle{ \sim }[/math] (Юникод: U+223C ∼ tilde operator) подобно тому как используется знак равенства. Например,

[math]\displaystyle{ A \sim B }[/math]

означает, что величина [math]\displaystyle{ A/B }[/math] постоянна. В англоязычной литературе обычно используется знак [math]\displaystyle{ \propto }[/math] (Юникод: U+221D ∝ proportional to):

[math]\displaystyle{ A \propto B. }[/math]

Пример

Масса керосина пропорциональна его объёму: 2 л керосина имеют массу 1,6 кг, 5 л имеют массу 4 кг, 7 л имеют массу 5,6 кг. Отношение массы к объёму при одинаковых условиях всегда будет равно плотности:

[math]\displaystyle{ 1{,}6:2=4:5=5{,}6:7=0{,}8. }[/math]

Коэффициент пропорциональности

Неизменное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности. Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой.

Прямо пропорциональные величины

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Пример: такие величины, как скорость объекта и пройденное им расстояние являются прямо пропорциональными.

Обратная пропорциональность

Графики нескольких функций: [math]\displaystyle{ f(x) = \frac {12} {x} }[/math]; [math]\displaystyle{ f(x) = \frac {1} {x} }[/math]; [math]\displaystyle{ f(x) = -\frac {1} {x} }[/math]; [math]\displaystyle{ f(x) = -\frac {12} {x} }[/math]

Обра́тная пропорциона́льность — это функциональная зависимость, при которой увеличение независимой величины (аргумента) вызывает пропорциональное уменьшение зависимой величины (функции).

[math]\displaystyle{ y = \frac{k}{x},\quad x \neq 0,\ k \neq 0. }[/math]

Свойства функции:

• Область определения [math]\displaystyle{ D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty). }[/math]
• Область значений [math]\displaystyle{ E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty). }[/math]
• Функция нечётна, так как [math]\displaystyle{ f(-x) = \frac{k}{-x} = -\frac{k}{x} = -f(x). }[/math]
• Функция убывает на каждом из множеств [math]\displaystyle{ (-\infty; 0) }[/math] и [math]\displaystyle{ (0; +\infty ) }[/math] по отдельности для [math]\displaystyle{ k \gt 0 }[/math] и возрастает на каждом из них по отдельности при [math]\displaystyle{ k \lt 0. }[/math]
• Графиком обратной пропорциональности является равнобочная гипербола с эксцентриситетом [math]\displaystyle{ \sqrt{2}. }[/math]

См. также

• Гипербола
• Линейная функция
• Пропорция
• Подобие
• Корреляция