Формулы сокращённого умножения многочленов

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Формулы для квадратов

[math]\displaystyle{ (a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left( a + b + c \right)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc }[/math]

Разница двух квадратов

Каждая разница двух квадратов может быть представлена в виде произведения по формуле

[math]\displaystyle{ a^2-b^2=(a-b)(a+b) }[/math]

Доказательство

Математическое доказательство закона сложное. Применив распределительный закон к правой части формулы, получим:

[math]\displaystyle{ (a+b)(a-b) = a^2+ba-ab-b^2 }[/math]

Из-за коммутативности умножения средние члены уничтожаются:

[math]\displaystyle{ ba - ab = 0 }[/math]

и остаётся

[math]\displaystyle{ (a+b)(a-b) = a^2-b^2 }[/math]

Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом для двух переменных.

Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце.

Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b, то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:

[math]\displaystyle{ a^2 + ba - ab - b^2 }[/math].

Чтобы это было равно [math]\displaystyle{ a^2 - b^2 }[/math], мы должны иметь

[math]\displaystyle{ ba - ab = 0 }[/math]

для всех пар a, b, поэтому R коммутативно.

Формулы для кубов

[math]\displaystyle{ (a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3 }[/math]
[math]\displaystyle{ a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2) }[/math]
[math]\displaystyle{ \left( a + b + c \right)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c + 3ab^2 + 3ac^2 + 3b^2c + 3bc^2 + 6abc }[/math]

Формулы для четвёртой степени

[math]\displaystyle{ (a\pm b)^4=a^4\pm 4a^3b+6a^2b^2\pm 4ab^3+b^4 }[/math]
[math]\displaystyle{ a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2) }[/math] (выводится из [math]\displaystyle{ a^2-b^2 }[/math])
[math]\displaystyle{ a^4+b^4=(a^2-\sqrt{2}ab+b^2)(a^2+\sqrt{2}ab+b^2) }[/math]

Формулы для n-й степени

[math]\displaystyle{ a^n\pm b^n=(a \pm b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}) }[/math]
[math]\displaystyle{ a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^2-...-a^2b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1}) }[/math], где [math]\displaystyle{ n \in N }[/math]
[math]\displaystyle{ a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n}) }[/math]
[math]\displaystyle{ a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^2-...+a^2b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n}) }[/math], где [math]\displaystyle{ n \in N }[/math]

В комплексных числах

[math]\displaystyle{ a^2+b^2=(a+bi)(a-bi) }[/math]
[math]\displaystyle{ a^3\pm b^3=\left (a\pm b \right ) \left (a+\frac{\mp 1+\sqrt{3}i}{2}b \right ) \left (a+\frac{\mp 1-\sqrt{3}i}{2}b\right ) }[/math]
[math]\displaystyle{ a^4-b^4=(a+b)(a+ib)(a-b)(a-ib) }[/math]
[math]\displaystyle{ a^4+b^4=\left (a+\frac{1+i}{\sqrt{2}}b\right ) \left (a+\frac{-1+i}{\sqrt{2}}b\right ) \left (a+\frac{-1-i}{\sqrt{2}}b\right ) \left (a+\frac{1-i}{\sqrt{2}}b\right ) }[/math]

Для произвольной чётной степени:

[math]\displaystyle{ a^n \pm b^n=\prod (a+\sqrt[n]{\mp 1}b) }[/math], где [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{\mp 1} }[/math] пробегает все n возможных значений

Для произвольной нечётной степени:

[math]\displaystyle{ a^n \pm b^n=\prod (a+\sqrt[n]{\pm 1}b) }[/math], где [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{\pm 1} }[/math] пробегает все n возможных значений

Некоторые свойства формул

[math]\displaystyle{ (a-b)^{2n}=(b-a)^{2n} }[/math], где [math]\displaystyle{ n \in N }[/math]
[math]\displaystyle{ (a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1} }[/math], где [math]\displaystyle{ n \in N }[/math]

См. также

Литература

М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.