Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:
- [math]\displaystyle{ \sum^{n}_{k=0} {a_k y^{(k)}(t)}=a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)}+\dots+ a_1 y' + a_0 y=f(t) }[/math]
где
- [math]\displaystyle{ y=y(t) }[/math] — искомая функция,
- [math]\displaystyle{ y^{(k)}=y^{(k)}(t) }[/math] — её [math]\displaystyle{ k }[/math]-я производная,
- [math]\displaystyle{ a_0, a_1, a_2,\dots a_n }[/math] — фиксированные числа,
- [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] — заданная функция (когда [math]\displaystyle{ f(t)\equiv 0 }[/math], имеем линейное однородное уравнение, иначе — линейное неоднородное уравнение).
Однородное уравнение
Определение
Корень кратности [math]\displaystyle{ k }[/math] многочлена [math]\displaystyle{ a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\ldots+a_n }[/math] это число [math]\displaystyle{ c }[/math], такое что этот многочлен делится без остатка на [math]\displaystyle{ (x-c)^k }[/math], но не на [math]\displaystyle{ (x-c)^{k+1} }[/math].
Уравнение порядка n
Однородное уравнение:
- [math]\displaystyle{ a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 y' + a_0 y=0 }[/math]
интегрируется следующим образом:
Пусть [math]\displaystyle{ \lambda_1, \dots,\lambda_k }[/math] — все различные корни характеристического многочлена, являющегося левой частью характеристического уравнения
- [math]\displaystyle{ a_n \lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\dots+a_1 \lambda + a_0 = 0 }[/math]
кратностей [math]\displaystyle{ m_1,m_2,\dots, m_k }[/math], соответственно, [math]\displaystyle{ m_1+m_2+\dots+m_k=n }[/math].
Тогда функции
- [math]\displaystyle{ t^\nu e^{\lambda_jt},\ \ 1\le j\le k,\ \ 0\le \nu \le m_j-1 }[/math]
являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями однородного уравнения, они образуют фундаментальную систему решений.
Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.
Воспользовавшись формулой Эйлера для пар комплексно сопряженных корней [math]\displaystyle{ \lambda_j = \alpha_j \pm i\beta_j,\ \ 1\le j\le k }[/math] можно заменить соответствующие пары комплексных функций в фундаментальной системе решений парами вещественных функций вида
- [math]\displaystyle{ t^\nu e^{\alpha_j t}\cos (\beta_j t),\ \ t^\nu e^{\alpha_j t}\sin (\beta_j t),\ \ j\in \overline{1 \dots k},\ \ 0\le \nu \le m_j-1 }[/math]
и построить общее решение уравнения в виде линейной комбинации с произвольными вещественными постоянными коэффициентами.
Уравнение второго порядка
Однородное уравнение второго порядка:
- [math]\displaystyle{ a_2 y'' + a_1 y' + a_0 y=0 }[/math]
интегрируется следующим образом:
Пусть [math]\displaystyle{ \lambda_1, \lambda_2 }[/math] — корни характеристического уравнения
- [math]\displaystyle{ a_2 \lambda^2 + a_1 \lambda + a_0 = 0 }[/math],
являющегося квадратным уравнением.
Вид общего решения однородного уравнения зависит от значения дискриминанта [math]\displaystyle{ \Delta=a_1^2 - 4a_2a_0 }[/math]:
- при [math]\displaystyle{ \Delta \gt 0 }[/math] уравнение имеет два различных вещественных корня
- [math]\displaystyle{ \lambda_{1,2} =\alpha_{1,2} = \frac{-a_1 \pm \sqrt{\Delta}}{2a_2}. }[/math]
Общее решение имеет вид:
- [math]\displaystyle{ y(t) = c_1e^{\alpha_1 t} + c_2e^{\alpha_2 t} }[/math]
- при [math]\displaystyle{ \Delta = 0 }[/math] — два совпадающих вещественных корня
- [math]\displaystyle{ \lambda_1 = \lambda_2 = \alpha = \frac{-a_1}{2a_2}. }[/math]
Общее решение имеет вид:
- [math]\displaystyle{ y(t) = c_1e^{\alpha t} + c_2te^{\alpha t} }[/math]
- при [math]\displaystyle{ \Delta \lt 0 }[/math] существуют два комплексно сопряженных корня
- [math]\displaystyle{ \lambda_{1,2} =\alpha \pm i\beta = \frac{-a_1}{2a_2} \pm i\frac{ \sqrt{|\Delta|}}{2a_2}. }[/math]
Общее решение имеет вид:
- [math]\displaystyle{ y(t) = c_1e^{\alpha t}\cos (\beta t) + c_2 e^{\alpha t}\sin (\beta t) }[/math]
Неоднородное уравнение
Неоднородное уравнение интегрируется методом вариации произвольных постоянных (Метод Лагранжа).
Вид общего решения неоднородного уравнения
Если дано частное решение неоднородного уравнения [math]\displaystyle{ y_0(t) }[/math], и [math]\displaystyle{ y_1(t),\ldots, y_n(t) }[/math] — фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение уравнения задается формулой
- [math]\displaystyle{ y(t) = c_1y_1(t) + \ldots + c_ny_n(t) + y_0(t), }[/math]
где [math]\displaystyle{ c_1,\dots,c_n }[/math] — произвольные постоянные.
Принцип суперпозиции
Как в общем случае линейных уравнений, имеет место принцип суперпозиции, используемый в разных формулировках принципа суперпозиции в физике.
В случае, когда функция в правой части состоит из суммы двух функций
- [math]\displaystyle{ f(t)=f_1(t) + f_2(t) }[/math],
частное решение неоднородного уравнения тоже состоит из суммы двух функций
- [math]\displaystyle{ y_0(t)=y_{01}(t) + y_{02}(t) }[/math],
где [math]\displaystyle{ y_{0j}(t),\ \ j\in \overline{1,2} }[/math] являются решениями неоднородного уравнения с правыми частями [math]\displaystyle{ f_j(t),\ \ j\in \overline{1,2} }[/math], соответственно.
Частный случай: квазимногочлен
В случае, когда [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] — квазимногочлен, то есть
- [math]\displaystyle{ f(t)=p(t)e^{\alpha t}\cos (\beta t)+q(t)e^{\alpha t}\sin (\beta t) }[/math]
где [math]\displaystyle{ p(t),\ q(t) }[/math] — многочлены, частное решение уравнения ищется в виде
- [math]\displaystyle{ y_0(t)=(P(t)e^{\alpha t}\cos (\beta t)+Q(t)e^{\alpha t}\sin (\beta t))t^s }[/math]
где
- [math]\displaystyle{ P(t),\ Q(t) }[/math] многочлены, [math]\displaystyle{ deg(P)=deg(Q)=Max(deg(p),\ deg(q)) }[/math], коэффициенты которых находятся подстановкой [math]\displaystyle{ y_0(t) }[/math] в уравнение и вычисление методом неопределенных коэффициентов.
- [math]\displaystyle{ s }[/math] является кратностью комплексного числа [math]\displaystyle{ w=\alpha + i\beta }[/math], как корня характеристического уравнения однородного уравнения.
В частности, когда
- [math]\displaystyle{ f(t)=p(t)e^{\alpha t} }[/math]
где [math]\displaystyle{ p(t) }[/math] — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде
- [math]\displaystyle{ y_0(t)=P(t)e^{\alpha t}t^s }[/math]
Здесь [math]\displaystyle{ P(t) }[/math] — многочлен, [math]\displaystyle{ deg(P)=deg(p) }[/math], с неопределенными коэффициентами, которые находятся подстановкой [math]\displaystyle{ y_0(t) }[/math] в уравнение. [math]\displaystyle{ s }[/math] является кратностью [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], как корня характеристического уравнения однородного уравнения.
Когда же
- [math]\displaystyle{ f(t)=p(t) }[/math]
где [math]\displaystyle{ p(t) }[/math] — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде
- [math]\displaystyle{ y_0(t)=P(t)t^s }[/math]
Здесь [math]\displaystyle{ P(t) }[/math] — многочлен, [math]\displaystyle{ deg(P)=deg(p) }[/math], а [math]\displaystyle{ s }[/math] является кратностью нуля, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.
Уравнение Коши — Эйлера
Уравнение Коши — Эйлера является частным случаем линейного дифференциального уравнения вида:
- [math]\displaystyle{ \sum^{n}_{k=1} {a_k(\alpha x + \beta )^k y^{(k)}(x)}= a_n(\alpha x + \beta )^n y^{(n)}(x) + ... + a_2(\alpha x + \beta )^2 y''(x) + a_1(\alpha x + \beta ) y'(x) + a_0y(x) = f(x) }[/math],
приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой вида [math]\displaystyle{ (\alpha x + \beta ) = e^t }[/math].
Применение
Дифференциальные уравнения являются наиболее часто используемой и классической формой математического описания процессов. Разные формы математических описаний являются инструментальным средством аналитического анализа и синтеза динамических систем и систем автоматического управления. Дифференциальные уравнения, параметры которых зависят от переменных, называются нелинейными и не имеют общих решений. В настоящее время в теории автоматического управления широко используется математический аппарат интегральных преобразований Лапласа и Фурье. Из математики известно, что в частотную область компактно преобразуется д.у. с постоянными коэффициентами и при нулевых начальных условиях. И в теории управления такое уравнение является линейным.[1]
Если динамическая система представлена нелинейными дифференциальными уравнениями математической физики, то для применения классических методов анализа этих систем требуется их линеаризация.
См. также
- Линейная рекуррентная последовательность — дискретный аналог линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Примечания
- ↑ А. В. Андрюшин, В. Р. Сабанин, Н. И. Смирнов. Управление и инноватика в теплоэнергетике. — М: МЭИ, 2011. — С. 41. — 392 с. — ISBN 978-5-38300539-2.
Для улучшения этой статьи желательно: |