Вещественные матрицы 2 × 2

Ассоциативная алгебра 2×2 вещественных матриц обозначается [math]\displaystyle{ M(2, \R) }[/math]. Две матрицы p и q в [math]\displaystyle{ M(2, \R) }[/math] имеют сумму [math]\displaystyle{ p + q }[/math], определяемую сложением матриц. Произведение матриц p q образуется скалярным произведением строк и столбец сомножителей через операцию умножения матриц. Для

[math]\displaystyle{ q =\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}, }[/math]

пусть

[math]\displaystyle{ \quad q^{*} =\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}. }[/math]

Тогда [math]\displaystyle{ q q^* = q^*q = (ad - bc) E }[/math], где [math]\displaystyle{ E }[/math] — 2×2 единичная матрица. Вещественное число [math]\displaystyle{ ad - bc }[/math] называется определителем матрицы q. Если [math]\displaystyle{ ad - bc \ne 0 }[/math], q является невырожденной матрицей, и в этом случае

[math]\displaystyle{ q^{-1} = q^*\,/\,(ad - bc). }[/math]

Набор всех таких обратимых матриц формирует полную линейную группу [math]\displaystyle{ GL(2, \R) }[/math]. В терминах абстрактной алгебры [math]\displaystyle{ M(2, \R) }[/math] с операциями сложения и умножения образуют кольцо, а [math]\displaystyle{ GL(2, \R) }[/math] является его группой единиц. [math]\displaystyle{ M(2, \R) }[/math] является четырёхмерным векторным пространством, так что эта алгебра считается ассоциативной. Она изоморфна (как кольцо) кокватернионам^[en], но с другой структурой.

2×2 вещественные матрицы находятся в один-к-одному соответствии с линейными отображениями двумерной прямоугольной системы координат в себя по правилу

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ax + by \\ cx + dy\end{pmatrix}. }[/math]

Структура

Внутри [math]\displaystyle{ M(2, \R) }[/math] умножение на вещественные числа единичной матрицы E можно считать вещественной прямой. Эта вещественная прямая является местом, где все коммутативные подкольца сходятся вместе:

Пусть [math]\displaystyle{ P_m = \{xE + ym : x, y \in \R\} }[/math] где [math]\displaystyle{ m^2 \in \{ -E, 0, E \} }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ P_m }[/math] является коммутативным подкольцом и [math]\displaystyle{ M(2, \R) = \cup P_m }[/math], где объединение осуществляется по всем m, таким, что [math]\displaystyle{ m^2 \in \{ -E, 0, E \} }[/math].

Для выявления таких матриц m сначала возведём в квадрат матрицу общего вида:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}aa+bc & ab+bd \\ac+cd & bc+dd \end{pmatrix} }[/math].

Если a + d = 0, эта матрица становится диагональной. Тогда предполагаем d = −a при поиске матриц m, образующих коммутативные подкольца. Если [math]\displaystyle{ mm = -E }[/math], то получаем [math]\displaystyle{ bc = -1 - aa }[/math], уравнение гиперболического параболоида в пространстве параметров [math]\displaystyle{ (a, b, c) }[/math]. Такая матрица m выступает в качестве мнимой единицы. В этом случае подкольцо [math]\displaystyle{ P_m }[/math] изоморфно полю (обычных) комплексных чисел.

Если [math]\displaystyle{ mm = +E }[/math], матрица m является инволютивной матрицей. Тогда уравнение [math]\displaystyle{ bc = +1 - aa }[/math] также даёт гиперболический параболоид. Если матрица является идемпотентной, она должна находиться в P_m и в этом случае подкольцо P_m изоморфно кольцу двойных чисел.

В случае нильпотентной матрицы mm = 0 получается, когда только одна из величин b или c не равна нулю, а коммутативное подкольцо P_m является тогда копией плоскости дуальных чисел.

Если [math]\displaystyle{ M(2, \R) }[/math] преобразуется заменой базиса^[en], эта структура изменяется в структуру сплит-кватернионов^[en], где множества квадратных корней из E и -E принимают одинаковые формы в виде гиперболоидов.

Сохраняющее площади отображение

Первое отображение отображает один дифференциальный вектор в другой:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}du \\ dv \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p & r\\ q & s \end{pmatrix} \begin{pmatrix}dx \\ dy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p\, dx + r\, dy \\ q\, dx + s\, dy\end{pmatrix}. }[/math]

Площади измеряются с плотностью [math]\displaystyle{ dx \wedge dy }[/math], дифференциальной 2-формой, которая использует внешнюю алгебру. Преобразованная плотность равна

[math]\displaystyle{ \begin{align} du \wedge dv & {} = 0 + ps\ dx \wedge dy + qr\ dy \wedge dx + 0 \\ & {} = (ps - qr)\ dx \wedge dy = (\det g)\ dx \wedge dy. \end{align} }[/math]

Тогда сохраняющие площади отображения представляют собой группу [math]\displaystyle{ SL(2, \R) }[/math][math]\displaystyle{ = \{g \in M(2, \R) : det(g) = 1\} }[/math], специальную линейную группу. Если задана вышеупомянутая структура, любой такой g лежит в коммутативном подкольце P_m, представляющем вид комплексной плоскости, соответствующей квадрату m. Поскольку [math]\displaystyle{ g g^* = E }[/math], возможны три варианта:

[math]\displaystyle{ mm = -E }[/math] и g лежит на окружности евклидовых поворотов
[math]\displaystyle{ mm = E }[/math] и g лежит на гиперболе отображений сжатия^[en]
[math]\displaystyle{ mm = 0 }[/math] и g лежит на прямой отображений сдвига^[en]

Обсуждая планарные аффинные отображения^[en], Рафаэль Артци сделал аналогичное деление случаев планарного линейного отображения в своей книге Линейная геометрия (1965).

Функции на 2 × 2 вещественных матрицах

Коммутативные подкольца алгебры [math]\displaystyle{ M(2, \R) }[/math] определяют теорию функций. В частности, три типа подплоскостей имеют собственные алгебраические структуры, которые определяют значение алгебраических выражений. Соглашения для функции «квадратный корень» и «логарифмической функции» помогают проиллюстрировать ограничения, вытекающие из свойств каждого типа подплоскостей P_m, описанных выше. Концепция единичной компоненты^[en] группы единиц подкольца P_m приводит к полярному разложению элементов группы единиц:

Если [math]\displaystyle{ mm = -E }[/math], то [math]\displaystyle{ z = \rho \exp({\theta}m) }[/math].
Если [math]\displaystyle{ mm = 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ z = \rho \exp(s m) }[/math] или [math]\displaystyle{ z = -\rho \exp(s m) }[/math].
Если [math]\displaystyle{ mm = E }[/math], то [math]\displaystyle{ z = \rho \exp(a m) }[/math], или [math]\displaystyle{ z = -\rho \exp(a m) }[/math] или [math]\displaystyle{ z = m \rho \exp(a m) }[/math] или [math]\displaystyle{ z = -m \rho \exp(a m) }[/math].

В первом случае [math]\displaystyle{ \exp(\theta m) = \cos(\theta) + m \sin(\theta) }[/math]. В случае дуальных чисел [math]\displaystyle{ \exp(s m) = 1 + s m }[/math]. Наконец, в случае расщепляемых комплексных чисел имеется четыре компоненты в группе единиц. Единичная компонента параметризуются переменной ρ и [math]\displaystyle{ \exp(a m) = \mathrm{ch}\,a + m \mathrm{sh}\,a }[/math].

Теперь [math]\displaystyle{ \sqrt{\rho \exp (a m)} = \sqrt{\rho} \exp (a m /2) }[/math] независимо от подплоскости P_m, но аргументы функции должны быть взяты из единичной компоненты её группы единиц. Половина плоскости теряется в случае структуры дуальных чисел. Три четверти плоскости нужно исключить в случае структуры двойных чисел.

Аналогично, если [math]\displaystyle{ \rho \exp(a m) }[/math] является элементом единичной компоненты группы единиц плоскости, ассоциированной с 2×2 матрицей m, то значением логарифмической функции будет [math]\displaystyle{ \log \rho + a m }[/math]. На область определения логарифмической функции накладываются те же ограничения, что и на функцию «квадратный корень», описанную выше, — половина или три четверти P_m должны быть исключены в случаях mm = 0 или [math]\displaystyle{ mm = E }[/math].

Дальнейшее описание теории для структуры [math]\displaystyle{ \Complex }[/math] можно найти в статье «Комплексные функции», а для структуры расщепляемых комплексных чисел — в статье Моторная переменная^[en].

2 × 2 вещественные матрицы как комплексные числа

Любую 2×2 вещественную матрицу можно интерпретировать как одно из трёх типов (обобщённых^[1]) комплексных чисел — стандартные комплексные числе, дуальные числа и расщепляемые комплексные числа. Выше, алгебра 2×2 матриц структурирована как объединение комплексных плоскостей, разделяющих одну и ту же вещественную ось. Эти плоскости представляются как коммутативные подкольца P_m. Мы можем определить, какой комплексной плоскости принадлежит данная 2×2 матрица, и классифицировать, какого рода комплексные числа представляет данная плоскость.

Рассмотрим 2×2 матрицу

[math]\displaystyle{ z = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}. }[/math]

Мы ищем комплексную плоскость P_m, содержащую матрицу z.

Как было отмечено выше, квадрат матрицы z диагонален, если a + d = 0. Матрица z должна быть выражена в виде суммы единичной матрицы E с коэффициентом и матрицы на гиперплоскости a + d = 0. Проектируя z на все эти подпространства [math]\displaystyle{ \R^4 }[/math], получим

[math]\displaystyle{ z = x I + n ,\quad x = \frac{a + d}{2}, \quad n = z - x I . }[/math]

Более того,

[math]\displaystyle{ n^2=pI }[/math], где [math]\displaystyle{ p=\frac{(a-d)^2}{4}+bc }[/math].

Тогда z принадлежит одному из трёх типов комплексных чисел:

Если p < 0, то это обычное комплексное число:

Пусть [math]\displaystyle{ q = 1/\sqrt{-p}, \quad m = qn }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ m^2= - I, \quad z = x I + m \sqrt{-p} }[/math].

Если p = 0, то это дуальное число:

[math]\displaystyle{ z=xI+n }[/math].

Если p > 0, то z является двойным числом:

Пусть [math]\displaystyle{ q=1/\sqrt{p}, \quad m = q n }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ m^2 = + I, \quad z = x I + m \sqrt{p} }[/math].

Аналогично, 2×2 может быть выражена в полярных координатах с учётом, что имеются две связные компоненты группы единиц на плоскости дуальных чисел и четыре компоненты на плоскости двойных чисел.

Примечания

↑ Harkin, Harkin, 2004, с. 118–29.

Литература

Rafael Artzy. Chapter 2-6 Subgroups of the Plane Affine Group over the Real Field // Linear Geometry. — Addison-Wesley, 1965. — С. 94.
Helmut Karzel, Gunter Kist. Kinematic Algebras and their Geometries // Rings and Geometry / R. Kaya, P. Plaumann, K. Strambach editors. — D. Reidel, 1985. — С. 437–509 (449-50). — ISBN 90-277-2112-2.
Svetlana Katok. Fuchsian groups. — University of Chicago Press, 1992. — С. 113ff. — ISBN 0-226-42582-7.
Garret Sobczyk. Chapter 2: Complex and Hyperbolic Numbers // New Foundations in Mathematics: The Geometric Concept of Number. — Birkhäuser, 2012. — ISBN 978-0-8176-8384-9.
Anthony A. Harkin, Joseph B. Harkin. Geometry of Generalized Complex Numbers // Mathematics Magazine. — 2004. — Т. 77, вып. 2.

[_ad6b37aa749c5e47-1] Harkin, Harkin, 2004, с. 118–29.

[1]