Полярное разложение
Полярное разложение — представление квадратной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] в виде произведения эрмитовой [math]\displaystyle{ S }[/math] и унитарной [math]\displaystyle{ U }[/math] матриц [math]\displaystyle{ A=SU }[/math]. Является аналогом разложения любого комплексного числа в виде [math]\displaystyle{ z= | z | e^{i \varphi} }[/math].
Свойства
- Любую квадратную матрицу [math]\displaystyle{ A }[/math] над [math]\displaystyle{ \R }[/math] (над [math]\displaystyle{ \Complex }[/math]) можно представить в виде [math]\displaystyle{ A=SU }[/math], где [math]\displaystyle{ S }[/math] — симметрическая (эрмитова) неотрицательно определённая матрица, [math]\displaystyle{ U }[/math] — ортогональная (унитарная) матрица. Если матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] невырождена, то такое представление единственно[1].
- Любую матрицу [math]\displaystyle{ A }[/math] можно представить в виде [math]\displaystyle{ A=UDW }[/math], где [math]\displaystyle{ U }[/math] и [math]\displaystyle{ W }[/math] — унитарные матрицы, [math]\displaystyle{ D }[/math] — диагональная матрица[1].
- Если [math]\displaystyle{ A=S_{1}U_{1}=S_{2}U_{2} }[/math] — полярные разложения невырожденной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math], то [math]\displaystyle{ U_{1}=U_{2} }[/math][1].
Существование
Докажем, что любую квадратную матрицу [math]\displaystyle{ A }[/math] над [math]\displaystyle{ \R }[/math] можно представить в виде произведения симметрической неотрицательно определённой матрицы и ортогональной матрицы.
Так как [math]\displaystyle{ {\left(A^T A\right)}^T = A^T A }[/math], то матрица [math]\displaystyle{ A^T A }[/math] симметричная. Существует[2] базис, который можно обозначить через [math]\displaystyle{ \vec{e} }[/math], состоящий из ортонормированных собственных векторов матрицы [math]\displaystyle{ A^T A }[/math], расположенных в порядке убывания собственных значений.
Так как [math]\displaystyle{ (A^T(x), y) = (x, A(y)) }[/math], то для любых векторов [math]\displaystyle{ e_i }[/math] и [math]\displaystyle{ e_j }[/math] базиса [math]\displaystyle{ e }[/math] выполняется [math]\displaystyle{ \lambda_i (\vec{e_i}, \vec{e_j})=(A^T A(\vec{e_i}), \vec{e_j})=(A(\vec{e_i}), A(\vec{e_j})) }[/math]. Значит, образ базиса [math]\displaystyle{ \vec{e} }[/math] относительно преобразования [math]\displaystyle{ A }[/math] ортогональный (сохраняются углы между векторами базиса, но не их длины). При проведении преобразования [math]\displaystyle{ A }[/math] векторы [math]\displaystyle{ \vec{e_i} }[/math] базиса [math]\displaystyle{ e }[/math] преобразуются в векторы [math]\displaystyle{ \sqrt{\lambda_i} \vec{e_k} }[/math].
Сингулярные числа матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] — квадратные корни [math]\displaystyle{ \sqrt{\lambda_i} }[/math] из собственных значений матрицы [math]\displaystyle{ A^TA }[/math].
Отсюда очевидно, что [math]\displaystyle{ \lambda_i \ge 0 }[/math]. Так как в рассматриваемом базисе векторы расположены в порядке убывания собственных значений, то существует такое число [math]\displaystyle{ r }[/math], что [math]\displaystyle{ \forall i \le r \rightarrow \lambda_i \gt 0 }[/math].
Пусть [math]\displaystyle{ f }[/math] — система векторов [math]\displaystyle{ \vec{f_i} = {{\vec{A(e_i)}} \over {\sqrt{\lambda_i}}} }[/math] при [math]\displaystyle{ i \lt r }[/math], дополненная до ортонормированного базиса произвольным образом. Пусть [math]\displaystyle{ Q }[/math] — матрица перехода из базиса [math]\displaystyle{ e }[/math] в базис [math]\displaystyle{ f }[/math]. Так как оба базиса ортонормированные, то матрица [math]\displaystyle{ Q }[/math] ортогональная. Так как [math]\displaystyle{ Q^{-1} A(e_i) = Q^{-1} \left( \sqrt{\lambda_i} f_i\right)=\sqrt{\lambda_i} e_i }[/math], то существует ортонормированный базис из собственных векторов матрицы [math]\displaystyle{ Q^{-1} A }[/math]. Это значит, что матрица [math]\displaystyle{ Q^{-1} A }[/math] в базисе [math]\displaystyle{ \vec{e} }[/math] имеет диагональный вид, а потому в произвольном ортонормированном базисе симметрична.
Итак, [math]\displaystyle{ A=QQ^{-1}A=Q(Q^{-1}A) }[/math], где матрица [math]\displaystyle{ Q }[/math] ортогональная, а матрица [math]\displaystyle{ Q^{-1} A }[/math] симметричная.
Примечания
Литература
- Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.