Проектор (математика)

На этом рисунке преобразование [math]\displaystyle{ P }[/math] является ортогональной проекцией на прямую [math]\displaystyle{ m }[/math].

В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор [math]\displaystyle{ P }[/math], действующий в линейном пространстве, называется прое́ктором (а также опера́тором проеци́рования и проекцио́нным опера́тором) если [math]\displaystyle{ P^2=P }[/math]. Такой оператор называют идемпотентным.

Несмотря на свою абстрактность, это определение обобщает идею построения геометрической проекции.

В качестве определения можно использовать следующее свойство проектора: линейный оператор [math]\displaystyle{ P:X\to X }[/math] является проектором тогда и только тогда, когда существуют такие подпространства [math]\displaystyle{ U }[/math] и [math]\displaystyle{ V }[/math] пространства [math]\displaystyle{ X }[/math], что [math]\displaystyle{ X }[/math] раскладывается в их прямую сумму, и при этом для любой пары элементов [math]\displaystyle{ u\in U,\ v\in V }[/math] имеем [math]\displaystyle{ P(u+v)=u }[/math]. Подпространства [math]\displaystyle{ U }[/math] и [math]\displaystyle{ V }[/math] — соответственно образ и ядро проектора [math]\displaystyle{ P }[/math], и обозначаются [math]\displaystyle{ \mathrm{Im}P }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathrm{Ker}P }[/math].

В общем случае, разложение линейного пространства в прямую сумму не единственно. Поэтому, для подпространства [math]\displaystyle{ V }[/math] пространства [math]\displaystyle{ X }[/math], вообще говоря, существует много проекторов, образ или ядро которых совпадает с [math]\displaystyle{ V }[/math].

Свойства проекционных операторов

• Пусть [math]\displaystyle{ I }[/math] — тождественный оператор. Если [math]\displaystyle{ P }[/math] — проектор, то [math]\displaystyle{ I-P }[/math] тоже проектор, причём [math]\displaystyle{ \mathrm{Ker}{(I-P)}=\mathrm{Im}{P} }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathrm{Im}{(I-P)}=\mathrm{Ker}P }[/math].
• В конечномерном нормированном пространстве все проекционные операторы непрерывны.
• Для банахова же пространства проекционный оператор будет непрерывным, если его образ замкнут, при этом ядро проектора тоже окажется замкнутым. Таким образом, непрерывный проектор задаёт разложение пространства в прямую сумму замкнутых подпространств: [math]\displaystyle{ X=\mathrm{Ker} P \oplus \mathrm{Im}\, P }[/math].
• Собственными значениями проектора могут быть только 0 и 1. Соответствующими собственными подпространствами проектора будут его ядро и образ.

Комбинации проекторов

Пусть [math]\displaystyle{ P_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ P_2 }[/math] — проекторы, заданные на векторном пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math], и проецирующие на подпространства [math]\displaystyle{ M_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ M_2 }[/math] соответственно. Тогда

• [math]\displaystyle{ P_1+P_2 }[/math] — проектор на подпространстве [math]\displaystyle{ M_1\oplus M_2 }[/math], в том и только том случае, когда [math]\displaystyle{ P_1 P_2=P_2 P_1=0 }[/math].
• [math]\displaystyle{ P_1-P_2 }[/math] является проектором тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ P_1 P_2=P_2 P_1=P_2 }[/math]. [math]\displaystyle{ P_1-P_2 }[/math] проецирует на подпространство [math]\displaystyle{ M_1\cap(X\ominus M_2) }[/math].
• Если [math]\displaystyle{ P_1P_2=P_2P_1=P }[/math], то [math]\displaystyle{ P }[/math] — проектор на подпространство [math]\displaystyle{ M_1\cap M_2 }[/math].

Примеры

• Ортогональная проекция (см. ниже) точек [math]\displaystyle{ (x, y, z) }[/math] пространства [math]\displaystyle{ R^3 }[/math] на плоскость [math]\displaystyle{ Oxy }[/math] задаётся матрицей

[math]\displaystyle{ P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}. }[/math]

Действует на точки она следующим образом:

[math]\displaystyle{ P \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix} }[/math]

Преобразование T является косоугольной проекцией вдоль k на прямую m. U=m и V=k.

• Простейший неортогональный проектор осуществляет косоугольную проекцию точек плоскости на прямую. Он задаётся матрицей:

[math]\displaystyle{ P = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix}. }[/math]

Легко показать, что это действительно проектор:

[math]\displaystyle{ P^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} = P. }[/math]

Проекция, задаваемая [math]\displaystyle{ P }[/math], ортогональна, тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ \alpha = 0 }[/math].

Ортогональный проектор

Если пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] — гильбертово, то есть обладает скалярным произведением (а значит и понятием ортогональности), то можно ввести понятие ортогонального проектора.

Ортогональный проектор — это частный случай проектора, когда выше упомянутые подпространства [math]\displaystyle{ U }[/math] и [math]\displaystyle{ V }[/math] ортогональны друг другу, иными словами, когда [math]\displaystyle{ \forall u\in U, \forall v\in V }[/math] [math]\displaystyle{ (u,v)=0 }[/math], или [math]\displaystyle{ u\cdot v =0 }[/math], или [math]\displaystyle{ u\perp v =0 }[/math]. В этом случае проекция элемента [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] является ближайшим к нему элементом пространства [math]\displaystyle{ U }[/math].

Литература

• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.