Билинейное преобразование

Не следует путать с Билинейное отображение.

Не следует путать с Билинейная интерполяция.

Билине́йное преобразова́ние (или преим. в зап. литературе преобразование Та́стина (англ.: Tustin’s method transformation)) — конформное отображение, используемое для преобразования передаточной функции [math]\displaystyle{ H_a(s) \ }[/math] линейной стационарной системы (например, корректирующего звена системы управления, электронного фильтра и т. п.) непрерывной формы в передаточную функцию [math]\displaystyle{ H_d(z) \ }[/math] линейной системы в дискретной форме.

Оно отображает точки [math]\displaystyle{ j \omega \ }[/math]-оси, [math]\displaystyle{ Re[s]=0 \ }[/math], на s-плоскости в окружность единичного радиуса, [math]\displaystyle{ |z| = 1 \ }[/math], на z-плоскости.

Это преобразование сохраняет устойчивость исходной непрерывной системы и существует для всех точек её передаточной функции. То есть, для каждой точки передаточной функции или АФЧХ исходной системы существует подобная точка с идентичными фазой и амплитудой дискретной системы. Однако эта точка может быть расположена на другой частоте. Эффект сдвига частот практически незаметен при небольших частотах, однако существенен на частотах, близких к частоте Найквиста.

Билинейное преобразование представляет собой функцию, аппроксимирующую натуральный логарифм, который является точным отображением z-плоскости на s-плоскость. При применении преобразования Лапласа над дискретным сигналом (представляющего последовательность отсчётов), результатом является Z-преобразование с точностью до замены переменных:

[math]\displaystyle{ z \ }[/math] [math]\displaystyle{ = e^{sT} \ }[/math] [math]\displaystyle{ = \frac{e^{sT/2}}{e^{-sT/2}} \ }[/math] [math]\displaystyle{ \approx \frac{1 + s T / 2}{1 - s T / 2} \ , }[/math]

где [math]\displaystyle{ T \ }[/math] — период дискретизации (обратная к частоте дискретизации величина).

Аппроксимация, приведённая выше и является билинейным преобразованием.

Обратное преобразование из s-плоскости в z-плоскость и его билинейная аппроксимация записываются следующим образом:

[math]\displaystyle{ s \ }[/math] [math]\displaystyle{ = \frac{1}{T} \ln(z) \ }[/math] [math]\displaystyle{ = \frac{2}{T} \left[\frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^3 + \frac{1}{5} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^5 + \frac{1}{7} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^7 + \ldots \right] \ }[/math] [math]\displaystyle{ \approx \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} \approx \ }[/math] [math]\displaystyle{ \approx \frac{2}{T} \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}} \ . }[/math]

Билинейное преобразование использует это соотношения для замены передаточной функции [math]\displaystyle{ H_a(s) \ }[/math] на её дискретный аналог:

[math]\displaystyle{ s \leftarrow \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} \ , }[/math]

то есть:

[math]\displaystyle{ H_d(z) = H_a(s) \bigg|_{s = \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1}}= H_a \left( \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1} \right) \ . }[/math]

Билинейное преобразование — частный случай преобразования Мёбиуса, определяемого как:

[math]\displaystyle{ z^{\prime} = \frac{a z + b}{c z + d} \ . }[/math]

Источники

1 (недоступная ссылка) на с. 47

2 глава 3.2.2 Метод билинейного преобразования

Расчет передаточной характеристики БИХ фильтра на основе аналогового фильтра прототипа. Билинейное преобразование (рус.). Дата обращения: 15 ноября 2010.