Теория оценивания

Теория оценивания — раздел математической статистики, решающий задачи оценивания непосредственно не наблюдаемых параметров сигналов или объектов наблюдения на основе наблюдаемых данных. Для решения задач оценивания применяется параметрический и непараметрический подход. Параметрический подход используется, когда известна математическая модель исследуемого объекта и характер возмущений и требуется лишь определить в ней неизвестные параметры. В этом случае используются метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия и метод моментов. Непараметрический подход используется для изучения объектов неизвестной структуры и с неизвестными возмущениями. Теория оценивания применяется в приборах для физических и других измерений, при моделировании физических, экономических, биологических и других процессов.

Параметрический подход

Постановка задачи

Пусть данные наблюдения $x=(x_1,x_2,...,x_n)$ являются случайными величинами с совместной плотностью распределения вероятностей $P(x\mid \lambda )$, зависящей от информативных параметров ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_m$ с неизвестными значениями: $P(x\mid \lambda )=P(x_1,x_2,...,x_n\mid {\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_m)$. Задача оценивания заключается в нахождении оценок информативных параметров $\hat{\lambda }=(\widehat{{\lambda }_1},\widehat{{\lambda }_2},...,\widehat{{\lambda }_m})$ в виде функций, задающих стратегии нахождения оценок по наблюдениям: $\widehat{{\lambda }_j}=\widehat{{\lambda }_j}(x),j=1,2,...,m$.

Байесовский подход

Оцениваемые параметры являются случайными величинами с совместной предварительно известной априорной плотностью вероятности $z(\lambda )$. Для минимизации ошибок оценивания вводится функция потерь $g(\hat{\lambda },\lambda )$, зависящая от оценок $\hat{\lambda }$ и истинных значений $\lambda$ оцениваемых параметров. В этом случае целью является минимизация математического ожидания функции потерь - среднего риска: $R(\hat{\lambda })=\int g(\hat{\lambda },\lambda )\phi (\hat{\lambda }\mid x)P(x\mid \lambda )z(\lambda )dxd\lambda d\hat{\lambda }$ . Здесь $\phi (\hat{\lambda }\mid x)$ - условная плотность вероятности принятия решения об оценке $\hat{\lambda }$ при данных наблюдения $x$.

Непараметрический подход

В этом случае класс вероятностных распределений не может быть описан с помощью конечного числа параметров. В этом случае оптимальные оценки определяются как функционалы от распределений вероятностей наблюдения.

Примеры

• В радиолокаторе для определения расстояния до объекта необходимо оценить промежуток времени между моментами передачи и приема радиолокационного сигнала, отраженного от объекта наблюдения. В этом случае информативными параметрами являются амплитуда, частота, временной сдвиг относительно выбранного момента времени. Эти параметры желательно оценить с минимальной ошибкой.

Литература

• Репин В. Г., Тартаковский Г. П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. — М.: Советское радио, 1977. — 432 с.
• Добровидов А. В., Кошкин Г. М. Непараметрическое оценивание сигналов. — М.: Наука, 1997. — 336 с. — ISBN 5-02-015217.
• Куликов Е. И. Методы измерения случайных процессов. — М.: Радио и связь, 1986. — 272 с.