Z-преобразование
Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты [math]\displaystyle{ E(n)=z^{-n}=r^{-n}e^{-i\omega n} }[/math], то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.
Определение
Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее.
Двустороннее Z-преобразование
Двустороннее Z-преобразование [math]\displaystyle{ X(z) }[/math] дискретного временного сигнала [math]\displaystyle{ x[n] }[/math] задаётся как:
- [math]\displaystyle{ X(z)=Z\{x[n]\}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}. }[/math]
где [math]\displaystyle{ n }[/math] — целое, [math]\displaystyle{ z }[/math] — комплексное число.
- [math]\displaystyle{ z=Ae^{j\varphi}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ A }[/math] — амплитуда, а [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — угловая частота (в радианах на отсчёт)
Одностороннее Z-преобразование
В случаях, когда [math]\displaystyle{ x[n] }[/math] определена только для [math]\displaystyle{ n\geqslant0 }[/math], одностороннее Z-преобразование задаётся как:
- [math]\displaystyle{ X(z)=Z\{x[n]\} =\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}. }[/math]
Обратное Z-преобразование
Обратное Z-преобразование определяется, например, так:
- [math]\displaystyle{ x[n]=Z^{-1}\{X(z)\}=\frac{1}{2\pi j}\oint\limits_{C}X(z)z^{n-1}\,dz, }[/math]
где [math]\displaystyle{ C }[/math] — контур, охватывающий область сходимости [math]\displaystyle{ X(z) }[/math]. Контур должен содержать все вычеты [math]\displaystyle{ X(z) }[/math].
Положив в предыдущей формуле [math]\displaystyle{ z=re^{j\varphi} }[/math], получим эквивалентное определение: [math]\displaystyle{ x[n]=\frac{r^n}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi X(re^{j\varphi})e^{jn\varphi}\,d\varphi. }[/math]
Область сходимости
Область сходимости [math]\displaystyle{ D }[/math] представляет собой некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых существует конечный предел ряда:
- [math]\displaystyle{ D=\left\{z \Big| \lim_{m\to\infty}\sum_{n=-m}^{m}x[n]z^{-n} = const \lt \infty\right\}. }[/math]
Пример 1 (без области сходимости)
Пусть [math]\displaystyle{ x[n]=0{,}5^n }[/math]. Раскрывая [math]\displaystyle{ x[n] }[/math] на интервале [math]\displaystyle{ (-\infty,\;\infty) }[/math], получаем
- [math]\displaystyle{ x[n]=\{\ldots;\;0{,}5^{-3};\;0{,}5^{-2};\;0{,}5^{-1};\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^2;\;0{,}5^3;\;\ldots\}=\{\ldots;\;2^3;\;2^2;\;2;\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^2;\;0{,}5^3;\;\ldots\}. }[/math]
Смотрим на сумму:
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}=\infty. }[/math]
Поэтому, не существует таких значений [math]\displaystyle{ z }[/math], которые бы удовлетворяли условию сходимости.
Связь с преобразованием Лапласа
Билинейное преобразование может быть использовано для преобразования непрерывного времени, например, при аналитическом описании линейных фильтров, представленных преобразованием Лапласа, в дискретное время выборок с периодом [math]\displaystyle{ T, }[/math] представленное в z-области и обратно. При таком преобразовании используется замена переменной:
- [math]\displaystyle{ s =\frac{2}{T} \frac{(z-1)}{(z+1)}. }[/math]
Обратный переход от z-преобразования к преобразованию Лапласа производится аналогичной заменой переменной:
- [math]\displaystyle{ z =\frac{2+sT}{2-sT}. }[/math]
Билинейное преобразование отображает комплексную s-плоскость [math]\displaystyle{ s = \sigma + j \omega }[/math] преобразования Лапласа на комплексную z-плоскость z-преобразования. Это отображение нелинейное и характерно тем, что отображает ось [math]\displaystyle{ j\omega }[/math] s-плоскости на единичную окружность в z-плоскости.
Таким образом, преобразование Фурье, которое является преобразованием Лапласа для переменной [math]\displaystyle{ j\omega }[/math], переходит в преобразование Фурье с дискретным временем. При этом предполагается, что преобразование Фурье существует, то есть ось [math]\displaystyle{ j\omega }[/math] находится в области сходимости преобразования Лапласа.
Таблица некоторых Z-преобразований
Обозначения:
- [math]\displaystyle{ \theta[n]=\left\{\begin{array}{c} 1, n\geqslant0 \\ 0, n\lt 0\end{array}\right. }[/math] — функция Хевисайда.
- [math]\displaystyle{ \delta[n]=1 }[/math] для [math]\displaystyle{ n=0 }[/math], и [math]\displaystyle{ \delta[n]=0 }[/math] для всех остальных n — дельта-последовательность (не следует путать с дельта-символом Кронекера и дельта-функцией Дирака).
| Сигнал, [math]\displaystyle{ x[n] }[/math] | Z-преобразование, [math]\displaystyle{ X(z) }[/math] | Область сходимости | |
|---|---|---|---|
| 1 | [math]\displaystyle{ \delta[n] }[/math] | [math]\displaystyle{ 1 }[/math] | [math]\displaystyle{ \forall z }[/math] |
| 2 | [math]\displaystyle{ \delta[n-n_0] }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{1}{z^{n_0}} }[/math] | [math]\displaystyle{ z\neq 0 }[/math] |
| 3 | [math]\displaystyle{ \theta[n] }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{z}{z-1} }[/math] | [math]\displaystyle{ |z|\gt 1 }[/math] |
| 4 | [math]\displaystyle{ a^n\theta[n] }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{1}{1-az^{-1}} }[/math] | [math]\displaystyle{ |z|\gt |a| }[/math] |
| 5 | [math]\displaystyle{ na^n\theta[n] }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2} }[/math] | [math]\displaystyle{ |z|\gt |a| }[/math] |
| 6 | [math]\displaystyle{ -a^n\theta[-n-1] }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{1}{1-az^{-1}} }[/math] | [math]\displaystyle{ |z|\lt |a| }[/math] |
| 7 | [math]\displaystyle{ -na^n\theta[-n-1] }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2} }[/math] | [math]\displaystyle{ |z|\lt |a| }[/math] |
| 8 | [math]\displaystyle{ \cos(\omega_0n)\theta[n] }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{1-z^{-1}\cos(\omega_0)}{1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+z^{-2}} }[/math] | [math]\displaystyle{ |z|\gt 1 }[/math] |
| 9 | [math]\displaystyle{ \sin(\omega_0n)\theta[n] }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{z^{-1}\sin(\omega_0)}{1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+z^{-2}} }[/math] | [math]\displaystyle{ |z|\gt 1 }[/math] |
| 10 | [math]\displaystyle{ a^n\cos(\omega_0n)\theta[n] }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{1-az^{-1}\cos(\omega_0)}{1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+a^2z^{-2}} }[/math] | [math]\displaystyle{ |z|\gt |a| }[/math] |
| 11 | [math]\displaystyle{ a^n\sin(\omega_0n)\theta[n] }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{az^{-1}\sin(\omega_0)}{1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+a^2z^{-2}} }[/math] | [math]\displaystyle{ |z|\gt |a| }[/math] |
См. также
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Z-Transform (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. С приложением таблиц, составленных Р.Гершелем: Пер. с немец. Серия: Физико-математическая библиотека инженера. 1971. 288 с.
| Теория | |
|---|---|
| Подразделы | |
| Техники | |
| Дискретизация | |
