Билинейное отображение

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Билинейное отображение — бинарное отображение векторных пространств, линейное по каждому из двух аргументов.

Понятие обобщается до модулей над кольцом: если [math]\displaystyle{ V\displaystyle }[/math] — левый унитарный [math]\displaystyle{ A }[/math]-модуль, [math]\displaystyle{ W\displaystyle }[/math] — правый унитарный [math]\displaystyle{ B }[/math]-модуль, [math]\displaystyle{ X\displaystyle }[/math] — [math]\displaystyle{ (A,B) }[/math]-бимодуль, то [math]\displaystyle{ f \colon V\times W \to X }[/math] билинейно, если оно линейно по каждому из двух аргументов ([math]\displaystyle{ v, v' \in V; \, w, w' \in W; \, a \in A; \, b \in B }[/math]):

[math]\displaystyle{ f(v+v', w) = f(v, w) + f(v', w) }[/math],
[math]\displaystyle{ f(av, w) = af(v, w) }[/math],
[math]\displaystyle{ f(v, w+w') = f(v, w) + f(v, w') }[/math],
[math]\displaystyle{ f(v, wb) = f(v, w)b }[/math].

Эквивалентная формулировка: [math]\displaystyle{ f \colon V \times W \to X }[/math] билинейно, если определено линейное отображение [math]\displaystyle{ f_1: V \to \text{Hom} (W,X) }[/math] (или, что то же самое, определено линейное отображение [math]\displaystyle{ f_2: W \to \text{Hom} (V,X) }[/math]).

Билинейная форма в наиболее общем случае — билинейное отображение [math]\displaystyle{ V\times W \to A }[/math], где [math]\displaystyle{ V }[/math] — левый унитарный [math]\displaystyle{ A }[/math]-модуль, [math]\displaystyle{ W }[/math] — правый унитарный [math]\displaystyle{ A }[/math]-модуль, а [math]\displaystyle{ A }[/math] — рассматриваемое как [math]\displaystyle{ (A,A) }[/math]-бимодуль кольцо с единицей. Билинейная операция — линейное по обоим аргументам отображение [math]\displaystyle{ f \colon X\times X\rightarrow X }[/math], таковыми являются умножения в алгебрах над кольцами, а также различные разновидности умножения матриц.

Литература