Модифицированное Z-преобразование

Модифицированное (смещённое) Z-преобразование — более общий случай обычного Z-преобразования, содержащее идеальное запаздывание величиной, кратной частоте дискретизации. Математически записывается как:

[math]\displaystyle{ F(z, m) = \sum_{k=0}^{\infty} f(k T + m)z^{-k} }[/math]

где

• T — период дискретизации
• m («параметр смещения») — часть периода дискретизации [math]\displaystyle{ [0, T). }[/math]

Модифицированное Z-преобразование широко применяется в теории управления в частности для более точного моделирования систем с задержками.

Свойства

Если параметр смещения m фиксирован, тогда все свойства модифицированного z-преобразования совпадают со свойствами обычного Z-преобразования.

Линейность

[math]\displaystyle{ Z \left[ \sum_{k=1}^{n} c_k f_k(t) \right] = \sum_{k=1}^{n} c_k F(z, m). }[/math]

Сдвиг по времени

[math]\displaystyle{ Z \left[ u(t - n T)f(t - n T) \right] = z^{-n} F(z, m). }[/math]

Ослабление

[math]\displaystyle{ Z \left[ f(t) e^{-a\, t} \right] = e^{-a\, m} F(e^{a\, T} z, m). }[/math]

Умножение аргумента

[math]\displaystyle{ Z \left[ t^y f(t) \right] = \left(-T z \frac{d}{dz} + m \right)^y F(z, m). }[/math]

Теорема о конечном значении

[math]\displaystyle{ \lim_{k = \infty} f(k T + m) = \lim_{k = 1+} F(z, m). }[/math]

Таблица основных преобразований

f(t)	F(z, m)
1(t)	[math]\displaystyle{ \frac{z}{z-1} }[/math]
t	[math]\displaystyle{ \frac{zmT}{z-1} + \frac{zT}{(z-1)^2} }[/math]
e-at	[math]\displaystyle{ \frac{ ze^{-amT} }{ z-e^{-aT} } }[/math]
1 — e-at	[math]\displaystyle{ \frac{z}{z-1} - \frac{ ze^{-amT} }{ z-e^{-aT} } }[/math]
sin ωt	[math]\displaystyle{ \frac{z^2 \sin {(m \omega T)} + z\sin {[(1-m) \omega T]}}{z^2 - 2z \cos {\omega T} + 1 } }[/math]

Пример

Пусть оригинал для преобразования [math]\displaystyle{ f(t) = \cos(\omega t) }[/math]. Тогда:

[math]\displaystyle{ F(z, m) = Z \left[\cos \left(\omega \left(k T + m \right) \right) \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ F(z, m) = Z \left[\cos (\omega k T) \cos (\omega m) - \sin (\omega k T) \sin (\omega m) \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ F(z, m) = \cos(\omega m) Z \left[ \cos (\omega k T) \right] - \sin (\omega m) Z \left[ \sin (\omega k T) \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ F(z, m) = \cos(\omega m) \frac{z \left(z - \cos (\omega T) \right)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} - \sin(\omega m) \frac{z \sin(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ F(z, m) = \frac{z^2 \cos(\omega m) - z \cos(\omega(T - m))}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1}. }[/math]

Если [math]\displaystyle{ m=0 }[/math], то [math]\displaystyle{ F(z, m) }[/math] совпадает с Z-преобразованием:

[math]\displaystyle{ F(z, 0) = \frac{z^2 - z \cos(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} }[/math]