Передаточная функция
Пeрeда́точная фу́нкция — один из способов математического описания динамической системы. Используется в основном в теории управления, связи и цифровой обработке сигналов. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.
В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.
Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета САР сводится к определению ее передаточной функции. При расчете настроек регуляторов широко используются достаточно простые динамические модели промышленных объектов управления. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной для разных систем.
Линейные стационарные системы
Пусть [math]\displaystyle{ u(t) }[/math] — входной сигнал линейной стационарной системы, а [math]\displaystyle{ y(t) }[/math] — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция [math]\displaystyle{ W(s) }[/math] такой системы записывается в виде:
- [math]\displaystyle{ W(s) = \frac{Y(s)} {U(s)}, }[/math]
- где [math]\displaystyle{ s = \sigma + j\omega }[/math] — оператор передаточной функции в преобразовании Лапласа,
- [math]\displaystyle{ U(s) }[/math] и [math]\displaystyle{ Y(s) }[/math] — преобразования Лапласа для сигналов [math]\displaystyle{ u(t) }[/math] и [math]\displaystyle{ y(t) }[/math] соответственно:
- [math]\displaystyle{ U(s) = \mathcal{L}\left\{ u(t) \right\} \equiv \int\limits_{0}^{+\infty} u(t) e^{-st}\, dt, }[/math]
- [math]\displaystyle{ Y(s) = \mathcal{L}\left\{ y(t) \right\} \equiv \int\limits_{0}^{+\infty} y(t) e^{-st}\, dt. }[/math]
Дискретная передаточная функция
Для дискретных и дискретно-непрерывных систем вводится понятие дискретной передаточной функции. Пусть [math]\displaystyle{ u(k) }[/math] — входной дискретный сигнал такой системы, а [math]\displaystyle{ y(k) }[/math] — её дискретный выходной сигнал, [math]\displaystyle{ k = 0, 1, 2, \dots }[/math]. Тогда передаточная функция [math]\displaystyle{ W(z) }[/math] такой системы записывается в виде:
- [math]\displaystyle{ W(z) = \frac{Y(z)} {U(z)} }[/math],
где [math]\displaystyle{ U(z) }[/math] и [math]\displaystyle{ Y(z) }[/math] — z-преобразования для сигналов [math]\displaystyle{ u(k) }[/math] и [math]\displaystyle{ y(k) }[/math] соответственно:
- [math]\displaystyle{ U(z) = \mathcal{Z}\left \{ u(k) \right \} \equiv \sum_{k=0}^\infty u(k) z^{-k} }[/math],
- [math]\displaystyle{ Y(z) = \mathcal{Z}\left \{ y(k) \right \} \equiv \sum_{k=0}^{\infty} y(k) z^{-k} }[/math].
Связь с другими динамическими характеристиками
- АФЧХ системы можно получить из передаточной функции с помощью формальной замены комплексной переменной [math]\displaystyle{ s }[/math] на [math]\displaystyle{ j \omega }[/math]:
- [math]\displaystyle{ W(j \omega) \equiv W(s), s = j \omega }[/math].
- Импульсная переходная функция является оригиналом (в смысле преобразования Лапласа) для передаточной функции.
Свойства передаточной функции, полюсы и нули передаточной функции
1. Для стационарных систем (т. е. систем с неизменяемыми параметрами компонентов) и с сосредоточенными параметрами передаточная функция — это дробно-рациональная функция комплексной переменной [math]\displaystyle{ s }[/math]:
- [math]\displaystyle{ W(s) = \frac{R(s)}{Q(s)} = \frac{b_0s^m + b_1s^{m-1} + \dots + b_m}{a_0s^n + a_1s^{n-1} + \dots + a_n} }[/math].
2. Знаменатель и числитель передаточной функции — это характеристические полиномы дифференциального уравнения движения линейной системы. Полюсами передаточной функции называют корни характеристического полинома знаменателя, нули — корни характеристического полинома числителя.
3. В физически реализуемых системах порядок полинома числителя передаточной функции [math]\displaystyle{ m }[/math] не может превышать порядка полинома её знаменателя [math]\displaystyle{ n }[/math], то есть [math]\displaystyle{ m \le n }[/math]
4. Импульсная переходная функция представляет собой оригинал (преобразования Лапласа) для передаточной функции.
5. При формальной замене [math]\displaystyle{ s = j\omega }[/math] в [math]\displaystyle{ W(s) }[/math] получается комплексная передаточная функция системы, описывающая одновременно амплитудно-частотную (в виде модуля этой функции) и фазо-частотную характеристики системы как её аргумент.
Матричная передаточная функция
Для MIMO-систем вводится понятие матричной передаточной функции. Матричная передаточная функция от вектора входа системы [math]\displaystyle{ U(t) }[/math] до вектора выхода [math]\displaystyle{ Y(t) }[/math] — это матрица [math]\displaystyle{ W = \{w_{i, j}\} }[/math], элемент [math]\displaystyle{ i }[/math]-й строки [math]\displaystyle{ j }[/math]-го столбца представляет собой передаточную функцию системы от [math]\displaystyle{ i }[/math]-й координаты вектора входа системы до [math]\displaystyle{ j }[/math]-й координаты вектора выхода.