Квантовый гармонический осциллятор

Ква́нтовый гармони́ческий осцилля́тор — физическая модель в квантовой механике, представляющая собой параболическую потенциальную яму для частицы массой [math]\displaystyle{ m }[/math] и являющаяся аналогом простого гармонического осциллятора. При анализе поведения данной системы рассматриваются не силы, действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полная энергия осциллятора, причём потенциальная энергия предполагается квадратично зависящей от координат. Учёт следующих слагаемых в разложении потенциальной энергии по координате ведёт к понятию ангармонического осциллятора.

Задача о гармоническом осцилляторе в координатном представлении

Волновые функции в координатном представлении первых восьми состояний, [math]\displaystyle{ n = 0,\dots,7 }[/math]. По горизонтали отложена координата [math]\displaystyle{ q }[/math], по вертикали — значение волновой функции [math]\displaystyle{ \psi_n(q) }[/math]. Графики не нормированы.

Гамильтониан квантового осциллятора массы m, собственная частота которого ω, выглядит так:

[math]\displaystyle{ \! \hat{H} = \frac{\hat p ^2 }{2 m } + \frac{m \omega^2 \hat q ^2}{2} }[/math]

В координатном представлении [math]\displaystyle{ \hat p=-i\hbar\partial/\partial x }[/math] , [math]\displaystyle{ \hat q =x }[/math]. Задача об отыскании уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению таких чисел E при которых дифференциальное уравнение в частных производных

[math]\displaystyle{ -\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi(x)+\frac{m\omega^2 x^2}{2}\psi(x)=E\psi(x) }[/math]

имеет решение в классе квадратично интегрируемых функций.

Для [math]\displaystyle{ E_n = \hbar \omega \left(n + {1\over 2}\right)\ ,\ n = 0, 1, 2, \ldots }[/math]

решение имеет вид:

[math]\displaystyle{ \psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot \exp \left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right) \cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right), }[/math]

функции [math]\displaystyle{ H_n }[/math] — полиномы Эрмита:

[math]\displaystyle{ H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2} }[/math]

Данный спектр значений E заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, уровни энергии дискретны и равноотстоящи (эквидистантны), то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна [math]\displaystyle{ \hbar\omega }[/math]; во-вторых наименьшее значение энергии равно [math]\displaystyle{ \hbar\omega/2 }[/math]. Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.

Операторы рождения и уничтожения

Основная статья: Вторичное квантование

Гораздо проще спектр гармонического осциллятора можно получить с помощью операторов рождения и уничтожения, сопряжённых друг другу.

Оператор рождения — [math]\displaystyle{ \hat{a}^+ }[/math], оператор уничтожения — [math]\displaystyle{ \hat{a} }[/math], их коммутатор равен

[math]\displaystyle{ [\hat{a}, \hat{a}^+] = \hat{a}\hat{a}^+ - \hat{a}^+\hat{a} = \frac{i}{\hbar} (\hat{p}\hat{q} - \hat{q}\hat{p}) = 1 }[/math]

С помощью операторов рождения и уничтожения гамильтониан квантового осциллятора записывается в компактном виде:

[math]\displaystyle{ \hat{H} = \hbar\omega\left(\hat{a}^+\hat{a}+\frac{1}{2}\right)=\hbar\omega\left(\hat{n}+\frac{1}{2}\right) }[/math]

где [math]\displaystyle{ \hat{n}=\hat{a}^+\hat{a} }[/math] — оператор номера уровня (чисел заполнения). Собственные вектора такого гамильтониана являются фоковскими состояниями, а представление решения задачи в таком виде называется «представлением числа частиц».

Ангармонический осциллятор

Под ангармоническим осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейшим приближением ангармонического осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в ряде Тейлора:

[math]\displaystyle{ \hat{H} = {\hat{p}^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 \hat{q}^2 + \lambda \hat{q}^3 }[/math]

Точное решение задачи о спектре энергии такого осциллятора довольно трудоёмкое, однако можно вычислить поправки к энергии, если предположить, что кубическое слагаемое мало по сравнению с квадратичным, и воспользоваться теорией возмущений.

В представлении операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования) кубическое слагаемое равно

[math]\displaystyle{ \lambda \left({\hbar \over 2m\omega}\right)^{3\over 2} (\hat{a} + \hat{a}^+)^3. }[/math]

Этот оператор имеет нулевые диагональные элементы, а потому первая поправка теории возмущений отсутствует. Вторая поправка к энергии произвольного невакуумного состояния [math]\displaystyle{ \left| \psi_E \right\rangle }[/math] равна

[math]\displaystyle{ \Delta E^{(2)} = \lambda^2 \left\langle \psi_E \right| q^3 {1 \over E - \hbar\omega/2} q^3 \left| \psi_E \right\rangle. }[/math]

Многочастичный квантовый осциллятор

В простейшем случае взаимодействия нескольких частиц можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая взаимодействие соседних частиц по квадратичному закону:

[math]\displaystyle{ \hat{H} = \sum_{i=1}^N {\hat{p}_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 \sum_{i\lt j}^{N} (\hat{q}_i - \hat{q}_j)^2 }[/math]

Здесь под [math]\displaystyle{ \hat{q}_i }[/math] и [math]\displaystyle{ \hat{p}_i }[/math] подразумеваются отклонение от положения равновесия и импульс [math]\displaystyle{ i }[/math]-той частицы. Суммирование ведётся только по соседним частицам.

Такая модель приводит к теоретическому обоснованию фононов — Бозе-квазичастиц, наблюдающихся в твёрдом теле.

Переходы под влиянием внешней силы

Под влиянием внешней силы [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии ([math]\displaystyle{ n }[/math]) на другой ([math]\displaystyle{ m }[/math]). Вероятность этого перехода [math]\displaystyle{ W_{n,m}(t) }[/math] для осциллятора без затухания даётся формулой:

[math]\displaystyle{ W_{n,m} (t) = \frac{n!}{m!} |\delta|^{2(n-m)}exp\left(-|\delta^2| \left ( L_n^{m-n} (|\delta|^2) \right )^2\right) }[/math],

где функция [math]\displaystyle{ \delta(t) }[/math] определяется как:

[math]\displaystyle{ \delta(t) = -i l \hbar \int\limits_0^t{f(\tau) exp(i \omega \tau) d\tau} }[/math],

а [math]\displaystyle{ L_m^{m-n} }[/math] — полиномы Лагерра.

См. также

• Уровни Ландау
• Гармонический осциллятор

Литература

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 3-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1974. — 752 с. — («Теоретическая физика», том III).