Состояние Фока

Фоковское состояние — это квантовомеханическое состояние с точно определённым количеством частиц. Названо в честь советского физика В. А. Фока.

Свойства фоковских состояний

В фоковском состоянии [math]\displaystyle{ |n\rangle }[/math] находится n частиц, где n — целое число.

В основном состоянии [math]\displaystyle{ |0\rangle }[/math] нет ни одного кванта. Часто [math]\displaystyle{ |0\rangle }[/math] также называют вакуумным состоянием.

При рассмотрении вторичного квантования состояния Фока формируют самый удобный базис пространства Фока.

Действие операторов рождения и уничтожения на них весьма просто. Они подчиняются следующим соотношениям статистики Бозе — Эйнштейна (случай частиц с целым спином):

[math]\displaystyle{ a^{\dagger}|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle }[/math]

[math]\displaystyle{ a|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle }[/math]

[math]\displaystyle{ |n\rangle={1\over\sqrt{n!}}(a^{\dagger})^n|0\rangle }[/math]

где [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ a^{\dagger} }[/math] — являются операторами уничтожения и рождения соответственно. Похожие соотношения выполняются для статистики Ферми — Дирака (для частиц с полуцелым спином).

Из этих соотношений следует, что

[math]\displaystyle{ \lt a^{\dagger} a \gt = n }[/math]

и

[math]\displaystyle{ Var( a^{\dagger} a) = 0, }[/math]

таким образом, измерение числа частиц [math]\displaystyle{ a^{\dagger} a }[/math] в состоянии Фока всегда даёт определённое значение без флуктуаций.

Состояния Фока не являются собственными функциями гамильтониана в общем случае

В формализме вторичного квантования плотность гамильтониана даётся выражением

[math]\displaystyle{ \mathfrak{H} = \frac{1}{2m} \nabla_{i}\psi^{*}(x)\, \nabla_{i}\psi(x) }[/math],

и общий гамильтониан записывается так:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \mathcal{H} &= \int d^3 x\,\mathfrak{H} = \int d^{3}x \psi^{*}(x)\left(-\frac{\nabla^2}{2m}\right)\psi(x) \\ \therefore \mathfrak{H} &= -\frac{\nabla^2}{2m} \end{align} }[/math]

В свободной теории Шрёдингера (т. е. для не взаимодействующих частиц в нерелятивистском приближении)

[math]\displaystyle{ \mathfrak{H}\psi_{n}^{(+)}(x) = -\frac{\nabla^2}{2m}\psi_{n}^{(+)}(x) = E_{n}^{0}\psi_{n}^{(+)}(x) }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \int d^3 x\, \psi_{n}^{(+)^{*}}(x)\, \psi_{n'}^{(+)}(x) = \delta_{nn'} }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \psi(x) = \sum_n a_n \psi_{n}^{(+)}(x) }[/math],

где [math]\displaystyle{ a_n }[/math] — оператор уничтожения.

[math]\displaystyle{ \therefore \mathcal{H} = \sum_{n,n'}\int d^{3}x\, a^{\dagger}_{n'}\psi_{n'}^{(+)^{*}}(x)\, \mathfrak{H}a_n \psi_{n}^{(+)}(x) }[/math]

Только для невзаимодействующих частиц [math]\displaystyle{ \mathfrak{H} }[/math] и [math]\displaystyle{ a_n }[/math] коммутируют; в общем случае они не коммутируют. Для невзаимодействующих частиц

[math]\displaystyle{ \mathcal{H} = \sum_{n,n'}\int d^3 x\, a^{\dagger}_{n'}\psi_{n'}^{(+)^{*}}(x)\, E^{0}_{n}\psi_{n}^{(+)}(x)a_n = \sum_{n,n'}E^{0}_{n} a^{\dagger}_{n'}a_n\delta_{nn'} = \sum_{n}E^{0}_{n}a^{\dagger}_n a_n = \sum_{n}E^{0}_{n}\widehat{N} }[/math]

Если они не коммутируют, гамильтониан не будет иметь вышеуказанного выражения. Следовательно, в общем случае фоковские состояния не являются состояниями системы с определённым значением энергии.

Энергия состояний

Фоковские состояния являются собственными функциями гамильтониана поля [math]\displaystyle{ H = \hbar \omega(a^{\dagger}a+1/2) }[/math]:

[math]\displaystyle{ H|n\rangle=E_n|n\rangle, }[/math]

где [math]\displaystyle{ E_n }[/math] — энергия соответствующего состояния [math]\displaystyle{ |n\rangle }[/math].

При подстановке гамильтониана в приведённое выше выражение получим:

[math]\displaystyle{ \hbar \omega\left(a^{\dagger}a + \frac{1}{2}\right)|n\rangle = \hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right)|n\rangle }[/math]

Следовательно, энергия состояния [math]\displaystyle{ |n\rangle }[/math] равна [math]\displaystyle{ E_n = \hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right) }[/math], где [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — частота поля.

Ещё раз отметим, что энергия нулевого (основного) состояния с [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math] отлична от нуля, и её называют нулевой энергией.

Вакуумные флуктуации

См. также Частота Раби

Вакуумное состояние, или [math]\displaystyle{ |0\rangle }[/math], есть состояние с наименьшей энергией. Для него

[math]\displaystyle{ a|0\rangle = 0 = \langle0|a^{\dagger}. }[/math]

Электрическое и магнитное поля и векторный потенциал имеют одинаковый вид:

[math]\displaystyle{ F(\vec{r},t) = \varepsilon a e^{i((\vec{k}\cdot\vec{r})-\omega t)} + }[/math] [math]\displaystyle{ h.c. }[/math]

Легко заметить, что величина оператора поля этого состояния исчезает в вакуумном состоянии:

[math]\displaystyle{ \langle0|F|0\rangle = 0. }[/math]

Однако можно показать, что квадрат оператора поля не равен нулю.

Вакуумные флуктуации ответственны за многие интересные явления в квантовой оптике, например, такие, как сдвиг Лэмба и сила Казимира.

См. также

• Квантовый гармонический осциллятор

Ссылки

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.
• Швебер С., Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, [пер. с англ. ], M., 1963.
• Хоружий С. С., Введение в алгебраическую квантовую теорию поля, М., 1986.
• Franz Gross. Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory. — Wiley-VCH, 1999. — ISBN 0471353868.