Йорданова алгебра

Йорданова алгебра — (неассоциативная) алгебра над кольцом, в которой справедливы тождества

[math]\displaystyle{ xy = yx }[/math] (коммутативность)
[math]\displaystyle{ (x^2y)x=x^2(yx) }[/math] (йорданово тождество)

Йордановы алгебры были впервые введены в 1933 году в работе Паскуаля Йордана, посвящённой аксиоматизации основ квантовой механики, для формализации понятия алгебры квантовых наблюдаемых. Они были первоначально названы «r-системы счисления», но в 1946 году были переименованы в «йордановы алгебры» А. Альбертом, который начал систематическое изучение общих йордановых алгебр.

Примеры

Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] — ассоциативная алгебра над полем характеристики [math]\displaystyle{ \not=2 }[/math]. Множество [math]\displaystyle{ A }[/math] с операциями сложения и йорданова умножения

[math]\displaystyle{ a\circ b=(ab+ba)/2 }[/math]

образует алгебру [math]\displaystyle{ A^+ }[/math], которая является йордановой. Такие алгебры называются специальными йордановыми алгебрами.

Ссылки

Jordan P., Ueber Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik Nachr. Akad. Wiss. Göttingen. Math. Phys. Kl. I, 41 (1933) 209—217.
Jordan, P.; Neumann, J. von; Wigner, E. (1934), «On an Algebraic Generalization of the Quantum Mechanical Formalism», Annals of Mathematics (Princeton) Vol.35 No.1. (1934) 29-64. doi:10.2307/1968117
Albert A. A. On Jordan algebras of linear transformations, Transactions of the American Mathematical Society 59 (3): (1946) 524—555.
Йорданова алгебра — статья из Математической энциклопедии

Литература

Кон П. Глава VII, §7. // Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1969. — С. 316—328. — 351 с.
Мельников О. В.; Ремесленников В. Н.; Романьков В. А.; Скорняков Л. А.; Шестаков И. П. Глава 3, §7. Кольца и модули с дополнительной структурой // Общая алгебра / Скорняков Л. А.. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 404—419. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.